1 этап республиканской олимпиады по математике 8-11 классы.2011 год. Ключ

Стоимость каждого задания 10 баллов. За ответ без обоснования ставится 2 балла.
Решение
8 класс

Нет, такого быть не может. Предположим, что 1-ый и второй внесли в сумме менее трети стоимости, а также 3-ий и 4-ый внесли в сумме менее трети стоимости. Тогда четверо друзей внесли менее двух третей стоимости покупки . Следовательно, на долю 5-ого придется более трети стоимости покупки. Следовательно, в сумме с любым из первых 4-ех друзей пятый внесет более трети стоимости покупки.
Удаляя из равных отрезков AC и BD их общую часть BC, получаем отрезки AB и CD, значит CD = AB = 2006 см. Откуда DE = CE – CD = 2012 – 2010 = 2.
3. Каждая команда провела 4 игры. Ясно, что первая команда один раз сыграла вничью, а остальные игры проиграла. Вторая имеет две ничьи и два поражения. Третья команда пять очков на одних ничьих набрать не могла, стало быть, она один раз выиграла, кроме того, у неё две ничьи и поражение. Четвёртая команда победила два раза (если бы один, то ей пришлось бы набрать в трёх играх на одних ничьих 4 очка, что невозможно). Также у этой команды есть ничья и поражение. В итоге первые четыре команды выиграли 3 раза, а проиграли 7 раз. Однако число побед должно равняться числу поражений. Значит, 4 раза они проиграли пятой команде, и у той 12 очков. Нетрудно привести пример турнира, где такое распределение очков возможно. Пусть пятая команда выиграла у всех, четвёртая - у первой и второй, третья - у первой, а все остальные игры закончились вничью. Тогда у каждой команды будет названное число очков.
Ответ: 12 очков.
4. 2013 = 3 ( 11 ( 61.
Решение. Так как единственное простое число, записываемое двумя одинаковыми цифрами – 11, то В = 1.
Кроме 11 на 1 оканчиваются следующие двухзначные простые числа: 31, 41, 61, 71, 91. Поэтому Д = 3, 5, 6, 7 или 9.
Г – однозначное простое число, то есть Г = 2, 3, 5 или 7.
Г ( 2, так как в этом случае в произведении 2 ( 11 ( Д1 = 22 ( Д1 число десятков было бы четным. Но оно равно 1.
Аналогично, Г ( 5, так как в этом случае число десятков произведения было бы равно 0 или 5.
Если Г = 3, то, перебирая возможные значения Д, находим единственную возможность Д = 3, что дает приведенное в ответе решение.
Если же Д = 7, то перебором убеждаемся, что в этом случае решений нет.

5. Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства:
13 EMBED Equation.3 1415
Поскольку последнее неравенство, очевидно, выполняется при любых х0, х1, х2, х3, х4, выполняется и исходное неравенство.




Стоимость каждого задания 10 баллов. За ответ без обоснования ставится 2 балла.

Решение
9 класс
1. Ответ : 144 человека.
9 человек, которые ничего не ответили, составляют 100 % - 38,55 % - 55,20 % = 6,25 %, то есть шестнадцатую часть от общего количества опрошенных. Значит, всего было опрошено 144 человека.

2. В левой таблице есть два столбца и две строки, все четыре точки пересечения которых закрашены. При перестановке как строк, так и столбцов первой таблицы это ее свойство будет сохраняться, а вторая таблица им не обладает. Поэтому ее из первой получить нельзя.

3. Так как обе части неравенства неотрицательны, то возводя данное неравенство в квадрат, получим равносильное неравенство:
13 EMBED Equation.3 1415.
Если (х+у)
·0, то неравенство справедливо, если (х+у)
·0, то еще раз возводя обе части последнего неравенства в квадрат, имеем:
13 EMBED Equation.3 1415.
Поскольку, очевидно, последнее неравенство выполнено для любых х, у, то же верно и для исходного неравенства. Равенство достигается при ху = 1.

4. Из равенства углов  13 EMBED Equation.DSMT4 1415ABD и  13 EMBED Equation.DSMT4 1415ACD следует, что точки A,B,C,D лежат на одной окружности. Из параллельности хорд BC и AD следует равенство дуг AB и CD [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Поскольку равные дуги стягивают и равные хорды, то AB = CD.

Стоимость каждого задания 10 баллов. За ответ без обоснования ставится 2 балла.

Решение
10 класс


1. Обозначим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, тогда уравнение перепишем в виде
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
т.е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 откуда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и поэтому решениями исходного уравнения являются 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

2. Решение.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Поэтому и максимум, и минимум данного выражения равен 1.
Ответ: 1.
3. Угол 13 EMBED Equation.DSMT4 1415ADB , образованный касательно BD к окружности и ее хордой AD, равен половине дуги, которую стягивает хорда AD, поэтому 13 EMBED Equation.DSMT4 1415AFD = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415ADB = 100o, поэтому 13 EMBED Equation.DSMT4 1415DFE = 50o т.к. по условию задачи прямая EF делит угол 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 пополам. Откуда получаем, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415DAE = 50o. Значит 13 EMBED Equation.DSMT4 1415B = 180o - 100o - 50o = 30o.




4. Заметим, что все члены последовательности, начиная с 13 EMBED Equation.3 1415 равны между собой, т.к. разность между числами 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 при натуральных 13 EMBED Equation.3 1415 кратна 360. Непосредственной проверкой убеждаемся, что 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, среди первых 100 членов последовательности(равно как и среди всех ее членов) отрицательное число только одно.

Ответ: Одно.
5. Прежде всего заметим, что после каждого хода уменьшается либо количество конфет в красной коробке, либо общее количество конфет. Следовательно, рано или поздно игра должна закончится победой одного из игроков. Далее, после каждого хода разность между количеством конфет в коробках изменяется на 2. Поэтому после каждого хода первого игрока остаток от деления этой разности на 4 будет равен 3. То есть в одной из коробок лежит по крайней мере 3 конфеты и второй игрок может всегда сделать ход (например, съесть 2 конфеты). Следовательно, проиграть он не может и проигрывает всегда первый.
Стоимость каждого задания 10 баллов. За ответ без обоснования ставится 2 балла.

Решение
11 класс


1.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Поэтому и максимум, и минимум данного выражения равен 1.
Ответ: 1.


2. Решение. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на выражение, сопряжённое знаменателю: 13 EMBED Equation.3 1415,

откуда 13 EMBED Equation.3 1415

Ответ:1010024.
3. Через S(X) будем обозначать площадь фигуры X.
Т.к. S(ABD) = ah/2, то S(BCD) = bh/2. Основание BC в треугольнике BCD имеет длину b, поэтому высота, опущенная из вершины D треугольника BCD на его основание BC должно иметь длину h. Пусть, высота, опущенная из вершины D треугольника BCD на его основание BC пересекает основание BC в точке X, так что DX = h. Точки B,X,D,A все лежат на окружности с диаметром BD, поэтому в силу того, что углы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415DBX и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415BDA опираются на равные по длине хорды DX=AB=h, они стягивают равные дуги, и поэтому равны. Но в треугольнике ABD, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415BAD = 90o ,поэтому 13 EMBED Equation.DSMT4 1415B = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415DBX + 13 EMBED Equation.DSMT4 1415DBA = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415BDA + 13 EMBED Equation.DSMT4 1415DBA = 90o

Ответ: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415B = 90o.

4. От противного, пусть z 
· 0. Случай z = 0 невозможен ввиду второго неравенства системы. Если z < 0, то из первого неравенства имеем 4xz < (2y – z)z. Тогда yІ < 4x < 2zy – zІ, то есть (z – y)І < 0, что невозможно. Противоречие.
5. Прежде всего заметим, что после каждого хода уменьшается либо количество конфет в красной коробке, либо общее количество конфет. Следовательно, рано или поздно игра должна закончится победой одного из игроков. Далее, после каждого хода разность между количеством конфет в коробках изменяется на 2. Поэтому после каждого хода первого игрока остаток от деления этой разности на 4 будет равен 3. То есть в одной из коробок лежит по крайней мере 3 конфеты и второй игрок может всегда сделать ход (например, съесть 2 конфеты). Следовательно, проиграть он не может и проигрывает всегда первый.


Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы


Добавить комментарий