I этап республиканской олимпиады по математике. 11 класс. Задания. Ключ. 17.10.2012г.

«Утверждаю»
Заместитель начальника отдела

_________

10.10.2012г.


Шифр ____________

I этап республиканской олимпиады по математике
17.10.2012г.

11 класс
Пусть 13 QUOTE 1415. Докажите неравенство 13 QUOTE 1415.

Дискриминант приведенного квадратного трехчлена 13 QUOTE 1415 положителен. Сколько корней может иметь уравнение 13 QUOTE 1415

Через точку внутри прямоугольного параллелепипеда провели три плоскости, параллельные его граням. При этом он оказался разбитым на восемь меньших параллелепипедов. Докажите, что по крайней мере у четырех из этих параллелепипедов объем не превышает 13 QUOTE 1415 от объема исходного параллелепипеда.

Решите систему уравнений: 13 QUOTE 1415

ОЦЕНКА
олимпиадной работы по математике
11 класс

№ задания
Максимально возможный балл
Полученный
балл

1
15


2
15


3
15


4
15


Всего

60



За ответ без обоснования ставится 2 балла.


Ключ
11 класс
Пусть 13 QUOTE 1415. Докажите неравенство 13 QUOTE 1415.

Решение. 13 QUOTE 1415

Дискриминант приведенного квадратного трехчлена 13 QUOTE 1415 положителен. Сколько корней может иметь уравнение 13 QUOTE 1415

Решение. Пусть 13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415. Тогда 13 QUOTE 1415.
Рассмотрим уравнение 13 QUOTE 1415. Посчитаем четверть дискриминанта получившегося квадратного уравнения 13 QUOTE 1415.
Данное выражение 13 QUOTE 1415. То есть уравнение имеет ровно один корень.
Ответ. Один.

Через точку внутри прямоугольного параллелепипеда провели три плоскости, параллельные его граням. При этом он оказался разбитым на восемь меньших параллелепипедов. Докажите, что по крайней мере у четырех из этих параллелепипедов объем не превышает 13 QUOTE 1415 от объема исходного параллелепипеда.

Решение. Разобьем эти 8 малых параллелепипедов на 4 пары параллелепипедов, содержащих противоположные вершины исходного параллелепипеда. Достаточно доказать, что в каждой паре хотя бы у одного параллелепипеда объем не превышает 13 QUOTE 1415 объема исходного параллелепипеда. Пусть a, b, c и x, y, z – длины ребер параллелепипедов, содержащих противоположные вершины исходного. Тогда a + x, b + y, c + z – длины ребер исходного параллелепипеда. Из неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом следует, что (a + x)(b + y)(c + z)
· 13 QUOTE 1415. Или 13 QUOTE 1415, где 13 QUOTE 1415 - соответственно объем большого параллелепипеда и объемы двух малых параллелепипедов. Если 13 QUOTE 1415, то из последнего неравенства следует, что 13 QUOTE 1415.
Решите систему уравнений: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: сложив все три уравнения системы, получим уравнение (х + у + z) (2x + 2y + 2z) = 288, из которого найдем х + у + z = 12 или х + у + z = –12. Далее получаем следующее решение (2; 4; 6), (– 2; – 4; – 6).

Приложенные файлы


Добавить комментарий