I этап республиканской олимпиады по математике. Задания. Ключ. 10 класс. 17.10.2012г.

«Утверждаю»
________________________

----------------------------------
10.10.2012г.




Шифр ____________


I этап республиканской олимпиады по математике
17.10.2012г.

10 класс

№1. Из трёх различных цифр х, у, z образованы всевозможные трехзначные числа. Сумма этих чисел в три раза больше трехзначного числа, каждая цифра которого есть х. Найти цифры х, у, z.

№2. Решите систему уравнений

13 EMBED Equation.3 1415

№3. Найдите наименьшее значение выражения
13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415 ,
если х > 0, у > 0, z > 0 и х2 + у2 + z2 = 1.

№4. Внутри треугольника ABC взята произвольная точка, и через нее проведены три прямые, параллельные сторонам треугольника. Эти прямые делят треугольник АВС на шесть частей из которых три части являются треугольниками. Площади этих треугольников равны S1, S2, S3. Найдите площадь треугольника АВС.



ОЦЕНКА
олимпиадной работы по математике
10 класс

№ задания
Максимально возможный балл
Полученный
балл

1
15


2
15


3
15


4
15



Всего


60



За ответ без обоснования ставится 2 балла.



Ключ
10 класс

Решение

№1. 13 EMBED Equation.3 1415

222х + 222у + 222z = 333х;
2х + 2у + 2z = 3х;
х = 2 ( у + z ).

Путем несложных рассуждений получим

х = 6, у = 1, z = 2,
х = 6, у = 2, z = 1,
х = 8, у = 1, z = 3,
х = 8, у = 3, z = 1,

Ответ: х = 6, у = 1, z = 2, х = 6, у = 2, z = 1;
х = 8, у = 1, z = 3, х = 8, у = 3, z = 1.

№2.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415


Умножив уравнения (1), (2), (3), получим (у +1)2(x +1)2(z +1)2 = 36;
отсюда (x +1)(y +1)(z +1) = 6 или (y +1)(x +1)(z +1) = - 6 .

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;

13 EMBED Equation.3 1415
· 13 EMBED Equation.3 1415
Значит, x +1 = 1; x = 0 x +1 = -1; x = -2
y +1 = 2; y = 1 y +1 = -2; y = -3
z +1 = 3; z = 2. z + 1 = -3; z = -4.
(0;1;2) (-2; -3; -4).
Ответ: (0;1;2), (-2; -3; -4).


№3.

Пусть 13 EMBED Equation.3 1415

Тогда ab = z2; bc = x2; ac = y2.

Значит, x2 + y2 + z2 = ab + bc + ac = 1

Так как a2 + b2
· 2ab,
b2 + c2
· 2bc,
c2 + a2
· 2 ac, то сложив неравенства, получим a2 + b2 + c2
· ab + bc + ac
Так как
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)
(a + b + c)2
· 3(ab + bc + ac)
(a + b + c)2
· 3, то a + b + c
· 13 EMBED Equation.3 1415.

Значит, 13 EMBED Equation.3 1415
· 13 EMBED Equation.3 1415. Равенство достигается, если x = y = z = 13 EMBED Equation.3 1415
Наименьшее значение выражения 13 EMBED Equation.3 1415 равно 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.


№4.

SKEO= S1 , S
·OML = S2

SNOF = S3

Нетрудно доказать, что
·КЕО ~
·ABC,
·OML ~
·ABC,
·NOF ~
·ABC.

Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно,13 EMBED Equation.3 1415

Сложим (1), (2), (3) и получим

13 EMBED Equation.3 1415

Так как KO = AN , OL = FC ,то
13 EMBED Equation.3 1415;

значит, 13 EMBED Equation.3 1415

Следовательно, SABC = 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415

Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы


Добавить комментарий