I этап республиканской олимпиады по математике. Задания. Ключ. 9 класс. 17.10.2012г.

«Утверждаю»
Заместитель начальника отдела

_________
10.10.2012г.





Шифр ____________





I этап республиканской олимпиады по математике
17.10.2012г.

9 класс

1. Решите неравенство: 13 EMBED Equation.3 1415.

2. Решите уравнение в целых числах: ху = х + у.

3. Пять футбольных команд провели турнир – каждая команда сыграла с каждой по разу. За победу начислялось 3 очка, за ничью – 1 очко, за проигрыш очков не давалось. Четыре команды набрали соответственно 1, 2, 5 и 7 очков. А сколько очков набрала пятая команда? Приведите пример турнира с такими результатами.

4. Серединные перпендикуляры к сторонам AB и CD четырехугольника ABCD пересекаются на стороне AD. Докажите, что если угол A равен углу D, то диагонали четырехугольника ABCD равны.




ОЦЕНКА
олимпиадной работы по математике
9 класс

№ задания
Максимально возможный балл
Полученный
балл

1
15


2
15


3
15


4
15



Всего


60



За ответ без обоснования ставится 2 балла.

Ключ
9 класс
Решите неравенство: 13 EMBED Equation.3 1415.

Решение. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415. Но 13 EMBED Equation.3 1415 для любых х, а 13 EMBED Equation.3 1415 для любых х, так как 8 > 0, а дискриминант – отрицательный. Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: решений нет.

Решите уравнение в целых числах: ху = х + у.

Решение. ху = х + у 13 EMBED Equation.3 1415 ху – х – у+1 = 1 13 EMBED Equation.3 1415 (ху – х) – (у – 1) = 1 13 EMBED Equation.3 1415 х (у – 1) – (у – 1) = 1 13 EMBED Equation.3 1415 (у – 1)( х – 1) = 1, где
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 Решение систем: (2; 2), (0; 0).
Ответ: (2; 2), (0; 0).
Пять футбольных команд провели турнир - каждая команда сыграла с каждой по разу. За победу начислялось 3 очка, за ничью - 1 очко, за проигрыш очков не давалось. Четыре команды набрали соответственно 1, 2, 5 и 7 очков. А сколько очков набрала пятая команда? Приведите пример турнира с такими результатами.
Решение. Каждая команда провела 4 игры. Ясно, что первая команда один раз сыграла вничью, а остальные игры проиграла. Вторая имеет две ничьи и два поражения. Третья команда пять очков на одних ничьих набрать не могла, стало быть, она один раз выиграла, кроме того, у неё две ничьи и поражение. Четвёртая команда победила два раза (если бы один, то ей пришлось бы набрать в трёх играх на одних ничьих 4 очка, что невозможно). Также у этой команды есть ничья и поражение. В итоге первые четыре команды выиграли 3 раза, а проиграли 7 раз. Однако число побед должно равняться числу поражений. Значит, 4 раза они проиграли пятой команде, и у той 12 очков. Нетрудно привести пример турнира, где такое распределение очков возможно. Пусть пятая команда выиграла у всех, четвёртая - у первой и второй, третья - у первой, а все остальные игры закончились вничью. Тогда у каждой команды будет названное число очков. Ответ: 12 очков.
Серединные перпендикуляры к сторонам AB и CD четырехугольника ABCD пересекаются на стороне AD. Докажите, что если угол A равен углу D, то диагонали четырехугольника ABCD равны.
Решение. Пусть К – точка пересечения серединных перпендикуляров. Тогда AK = KB, CK = KD, 13 QUOTE 1415. Отсюда 13 QUOTE 1415, значит, 13 QUOTE 1415. Но тогда 13 QUOTE 1415 (по двум сторонам и углу между ними).

Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы


Добавить комментарий