I этап республиканской олимпиады по математике. Задания. Ключ. 8 класс. 17.10.2012г.

«Утверждаю»
Заместитель начальника отдела

_________
10.10.2012г.

Шифр ____________

I этап республиканской олимпиады по математике
17.10.2012г.

8 класс

1. В некотором доме живут только супружеские пары с маленькими детьми, бездетных семей нет. Известно, что у каждого мальчика есть сестра, и что мальчиков больше, чем девочек. Кого больше в этом доме: детей или взрослых?

2. Отрезки АВ, CD и EF пересекаются в точке О. При этом точка Е находится внутри отрезка АС, а точка F – внутри отрезка BD. Доказать, что EF < AB + CD.

3. Однажды Вася пошёл в тир, в котором действовало следующее правило: за каждое попадание в мишень стрелок получал 2 дополнительных бесплатных патрона, а за каждый промах у него забирали один оплаченный или заработанный им патрон (если после промаха у стрелка ещё оставались патроны).
Вася не помнит точно, сколько раз ему удалось выстрелить: 15 или 16, но оплатил он только 10 выстрелов. Определите, сколько раз смог выстрелить Вася и сколько раз он попал в мишень.

4. Расшифруйте ребус, где одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным – разные:

Яс = семья.

5. Докажите, что если х1х2 + х2х3 + х3х4 + х4х1 ( 0,
то х1 + х2 + х3 + х4 ( 0.


ОЦЕНКА
олимпиадной работы по математике
8 класс

№ задания
Максимально возможный балл
Полученный
балл

1
10


2
10


3
10


4
10


5
10



Всего


50



Стоимость каждого задания 10 баллов. За ответ без обоснования ставится 2 балла.


КЛЮЧ


Решение

1. Ответ: детей больше.

Поскольку в каждой семье есть дети, и у каждого мальчика есть сестра, то в каждой семье есть хотя бы одна девочка, то есть количество девочек не меньше, чем количество семей. Мальчиков больше, чем девочек, значит, их количество больше, чем количество семей. Так как взрослых в каждой семье двое, то общее количество детей больше, чем общее количество взрослых.

2.Решение. Заметим, что по крайней мере один из углов (АЕО, (СЕО не меньше 900. Пусть, например, (АЕО ( 900. Тогда (АЕО ( (ЕАО и АО ( ЕО. Тогда тем более,
ЕО ( АО + СО (1).
Аналогично, FO < BO + DO (2).
Сложив неравенства (1) и (2), получим:
EO + FO = EF < (AO + BO) + (CO + DO) = AB + CD


3. Ответ: Вася выстрелил 16 раз, но попал всего 7 раз.

Пусть х – число попаданий Васи, а N – число сделанных им выстрелов. Тогда либо
10 + 2х – (N- x) = N, если последний патрон у Васи забрали, либо 10 + 2х – (N-x) + N = N, если последним патроном Вася не смог поразить мишень. Поэтому 2N – 10 =3x либо 2N – 11 = 3x. Подставляя значения N = 15 и N= 16, убеждаемся, что лишь при N= 16 существует натуральное число х = 7. Следовательно, Вася выстрелил всего 16 раз, а попал только 7 раз. Легко привести пример такой стрельбы: первые семь раз Вася попал в мишень, а затем девять раз подряд промазал.


4. Ответ: 57 = 78 125.

Применим перебор.
Начнём с буквы Я. Я не может равняться 0,1 или 2. ( Так как С
· 9, а 09= 0, 19 = 1, 29 <10 000, то цифры 0, 1,2для буквы Я отпадают).
Рассмотрим случай Я = 3. Найдём такую степень тройки, чтобы получилось пятизначное число. Получаем 39 = 19 683, что не удовлетворяет условию.
Рассмотрим случай Я = 4. Аналогично получаем 47 = 16 384 и 48 = 65 536. Оба варианта не подходят.
Проверим случай Я = 5. Получаем 57 = 78 125. Получается.
Проверяя аналогично случаи: Я = 6, 7, 8, 9, получаем числа 66 = 46 556, 75 = 16 807, 85 = 32 768, 95 = 59 049, которые не подходят по условию задачи.
Я = 5, С = 7, Е = 8, М = 1, Ь = 2.

5. Решение. Заметим, что х1х2 + х2х3 + х3х4 + х4х1 =(х1 + х3)(х2 + х4). Пусть х1 + х2 + х3 + х4 = 0, тогда (х1 + х3) = -(х2 + х4). Значит, если сомножители не равны нулю, то они разных знаков, а их произведение отрицательно.




A

D

C

B

E

F

О










15

Приложенные файлы


Добавить комментарий