21. Влияние коэффициентов а, b и с на расположение графика квадратичной функции

Урок 21
Тема урока. Влияние коэффициентов а, b и с на расположение графика квадратичной функции.

Тип урока: применение знаний и умений.

Цели: продолжить формирование умения строить график квадратичной функции и перечислять ее свойства; выявить влияние коэффициентов а, b и с на расположение графика квадратичной функции.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент.
Сообщение темы и целей урока.

II. Актуализация опорных знаний.
Определите, график какой функции изображен на рисунке:

у = х2 – 2х – 1;
у = –2х2 – 8х;
у = х2 – 4х – 1;
у = 2х2 + 8х + 7;
у = 2х2 – 1.

у = Ѕх2 – 2х;
у = –Ѕх2 + 4х + 1;
у = –х2 – 4х + 1;
у = –х2 + 4х – 1;
у = –Ѕх2 + 2х – 1.


III. Формирование умений и навыков.
Упражнения:
№ 127 (107) (а).
Р е ш е н и е
Рассмотрим функцию у = (х – 2)(х + 4) – квадратичная, график – парабола, ветви направлены вверх, т.к. a = 1 > 0.
(х – 2)(х + 4) = x2 + 2x – 8.
у = x2 + 2x – 8.
Координаты вершины: (-1; -9).
13 QUOTE 1415
п = (-1)2 + 2
· (-1) – 8 = -9
Ось симметрии: т = -1
Нули функции: (13 QUOTE 13 QUOTE 1415 1413 QUOTE 141515; 0) и (13 QUOTE 1415; 0)
(х – 2)(х – 4) = 0
13 QUOTE 1415

х
-4
-3
-2
-1
0
1
2

у
0
-5
-8
-9
-8
-5
0


№ 129.
Р е ш е н и е
Прямая у = 6х + b касается параболы у = х2 + 8, то есть имеет с ней только одну общую точку в том случае, когда уравнение 6х + b = х2 + 8 будет иметь единственное решение.
Это уравнение является квадратным, найдем его дискриминант:
х2 – 6х + 8 + b = 0;
D1 = 9 – (8 – b) = 1 + b;
D1 = 0, если 1 + b = 0, то есть b = –1.
О т в е т: b = –1.

Задание 1. Выявить влияние коэффициентов а, b и с на расположение графика функции у = ах2 + bх + с.
Учащиеся обладают достаточными знаниями, чтобы выполнить это задание самостоятельно. Следует предложить им все полученные выводы занести в тетрадь, при этом выделив «основную» роль каждого из коэффициентов.
1) Коэффициент а влияет на направление ветвей параболы: при а > 0 – ветви направлены вверх, при а < 0 – вниз.
2) Коэффициент b влияет на расположение вершины параболы. При b = 0 вершина лежит на оси оу.
3) Коэффициент с показывает точку пересечения параболы с осью ОУ.
После этого можно привести пример, показывающий, что можно сказать о коэффициентах а, b и с по графику функции.

Значение с можно назвать точно: поскольку график пересекает ось Оу в точке (0; 1), то с = 1.
Коэффициент а можно сравнить с нулем: так как ветви параболы направлены вниз, то а < 0.
Знак коэффициента b можно узнать из формулы, определяющей абсциссу вершины параболы: т = , так как а < 0 и т = 1, то b> 0.
Задание 2. Определите, график какой функции изображен на рисунке, опираясь на значение коэффициентов а, b и с.
а)
у = –х2 + 2х;
у = х2 + 2х + 2;
у = 2х2 – 3х – 2;
у = х2 – 2.

Р е ш е н и е
По изображенному графику делаем следующие выводы о коэффициентах а, b и с:
а > 0, так как ветви параболы направлены вверх;
b
· 0, так как вершина параболы не лежит на оси ОУ;
с = –2, так как парабола пересекает ось ординат в точке (0; –2).
Всем этим условиям удовлетворяет только функция у = 2х2 – 3х – 2.
б)
у = х2 – 2х;
у = –2х2 + х + 3;
у = –3х2 – х – 1;
у = –2,7х2 – 2х.

Р е ш е н и е
По изображенному графику делаем следующие выводы о коэффициентах а, b и с:
а < 0, так как ветви параболы направлены вниз;
b
· 0, так как вершина параболы не лежит на оси ОУ;
с = 0, так как парабола пересекает ось ОУ в точке (0; 0).
Всем этим условиям удовлетворяет только функция у = –2,7х2 – 2х.

Задание 3. По графику функции у = ах2 + bх + с определите знаки коэффициентов а, b и с:
а) б)
Р е ш е н и е
а) Ветви параболы направлены вверх, поэтому а > 0.
Парабола пересекает ось ординат в нижней полуплоскости, поэтому с < 0. Чтобы узнать знак коэффициента b воспользуемся формулой для нахождения абсциссы вершины параболы: т = . По графику видно, что т < 0, и мы определим, что а > 0. Поэтому b > 0.

б) Аналогично определяем знаки коэффициентов а, b и с:
а < 0, с > 0, b < 0.

Сильным в учебе учащимся можно дать дополнительно выполнить № 247.
Р е ш е н и е
у = х2 + рх + q.
а) По теореме Виета, известно, что если х1 и х2 – корни уравнения х2 + + рх + q = 0 (то есть нули данной функции), то х1 · х2 = q и х1 + х2 = –р. Получаем, что q = 3 · 4 = 12 и р = –(3 + 4) = –7.

б) Точка пересечения параболы с осью Оу даст значение параметра q, то есть q = 6. Если график функции пересекает ось ОХ в точке (2; 0), то число 2 является корнем уравнения х2 + рх + q = 0. Подставляя значение х = 2 в это уравнение, получим, что р = –5.

в) Своего наименьшего значения данная квадратичная функция достигает в вершине параболы, поэтому , откуда р = –12. По условию значение функции у = х2 – –12х + q в точке x = 6 равно 24. Подставляя x = 6 и у = 24 в данную функцию, находим, что q = 60.

IV. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Опишите алгоритм построения квадратичной функции.
– Перечислите свойства функции у = ах2 + bх + с при а > 0 и при а < 0.
– Как влияют коэффициенты а, b и с на расположение графика квадратичной функции?

Домашнее задание: № 127 (б), № 128, 131, № 248.
Д о п о л н и т е л ь н о: № 130.

Рисунок 1Рисунок 2Рисунок 6Рисунок 7Рисунок 11Рисунок 12Рисунок 13Рисунок 1415

Приложенные файлы


Добавить комментарий