10. Теорема о разложении квадратного трехчлена на множители

Урок 10
Тема урока. Теорема о разложении квадратного трехчлена на множители.

Тип урока: изучение нового материала.

Цели: изучить теорему о разложении квадратного трехчлена на множители и формировать умение ее применять.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент.
Сообщение темы и целей урока.
II. Актуализация опорных знаний.
1. Какие из чисел: 1; 2; 3; –3 – являются корнями трехчлена х2 + х – 6?
2. Сколько корней имеет квадратный трехчлен:
а) х2 – 7; г) 5х2 + 10;
б) 5х – 6х2; д) х2 + 2х – 7;
в) х2 + 2х + 1; е) х2 + 2х + 10?

III. Объяснение нового материала.
Сначала необходимо актуализировать знания учащихся и создать у них мотивацию. Поэтому следует разобрать, как разложить на множители квадратный трехчлен методом группировки, рассмотрев несколько примеров:
а) х2 + 3х – 4 = х2 + 4х – х – 4 = х (х + 4) – (х + 4) = (х + 4) (х – 1);
б) –х2 + 3х + 10 = –(х2 – 3х – 10) = –(х2 – 5х + 2х – 10) = –(х (х – 5) + 2 (х – 5)) = – (х – 5) (х + + 2) = (5 – х) (х + 2);
в) 2х2 + 6х + 4 = 2 (х2 + 3х + 2) = 2 (х2 + х + 2х + 2) = 2 (х (х + 1) + 2 (х + 1)) = 2 (х + 1) (х + 2).
Выполнение этих заданий позволит учащимся повторить метод группировки разложения многочлена на множители, а также убедиться в том, что этот метод не является достаточно удобным в данной ситуации. Учитель сообщает, что существует теорема, позволяющая разложить на множители квадратный трехчлен более простым способом.
Далее следует разобрать теорему, после чего предложить учащимся применить ее к тем трехчленам, которые были разложены на множители методом группировки в начале урока. Учащиеся убеждаются, что результаты получаются одинаковые.
На доску выносится запись:
ax2 + bx + c = a (x – x1) (x – x2)
,

которая сохраняется до конца урока.

IV. Формирование умений и навыков.
На этом уроке учащиеся выполняют задания на непосредственное применение изученной теоремы. Использование теоремы для упрощения выражений лучше рассмотреть на следующем уроке.

Упражнения:
1. № 76, № 77 (а, б).
2. № 79 (а), № 80.
В классе с высоким уровнем подготовки можно выполнить № 82.
Р е ш е н и е
Учащиеся могут подобрать такой трехчлен с конкретными коэффициентами и разложить его на множители.
Н а п р и м е р: х2 + 3х + 2 = (х + 1) (х + 2). Однако доказательство факта, данного в задаче, необходимо провести в общем виде.
Пусть а = п, b = 2п, с = 3п. Тогда получим квадратный трехчлен пх2 + 2пх + 3п. Его дискриминант равен –8п2, то есть трехчлен такого вида корней не имеет, значит, не удовлетворяет условию задачи. Замечаем, что дискриминант будет отрицательным в тех трехчленах, в которых а = 3п или с = 3п.
Условию будут удовлетворять только два трехчлена:
пх2 + 3пх + 2п и 2пх2 + 3пх + п.
Разложим их на множители:
пх2 + 3пх + 2п = 0;
D = 9п2 – 8п2 = п2;
х1 = ; ;
пх2 + 3пх + 2п = п (х + 1) (х + 2);

2пх2 + 3пх + п = 0;
D = 9п2 – 8п2 = п2;
х1 = ; ;
2пх2 + 3пх + п = 2п (х + 1) = п (2х + 1) (х + 1).
Подставляя конкретные значения п, можно получить бесконечно много квадратных трехчленов указанного вида:
х2 + 3х + 2, 2х2 + 3х + 1, 2х2 + 6х + 4, 4х2 + 6х + 2 и т. п.

V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что такое квадратный трехчлен?
– Как найти корни квадратного трехчлена?
– Сформулируйте теорему о разложении квадратного трехчлена на множители.
– Любой ли квадратный трехчлен можно разложить на множители? От чего это зависит?

Домашнее задание: п. 8; № 77 (в, г), № 78, № 79 (б).
Д о п о л н и т е л ь н о: № 81.

Рисунок 1478Рисунок 1479Рисунок 148215

Приложенные файлы


Добавить комментарий