9 класс


Олимпиадные задания
по математике 9 класс 2011-2012 уч.г.
Фамилия______________________ Имя________________

Задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Кол-во баллов Всего баллов:
1.(3 балла) Когда Пиноккио обманывает, число бородавок на его носу удваивается, а когда говорит правду, одна бородавка пропадает. Сегодня он три раза соврал и два раза сказал правду. К вечеру у него на носу оказалось пять бородавок. Сколько их было в начале дня ?Решение_____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Ответ_______________________________________
2.(4 балла) Выясните, что больше : 12-16 или 310 .
Решение_____________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Ответ_______________________________________
3.(4 балла) Сократите дробь: х3+ 5х2- 4х-20х2+ 3х-10.
Решение
Ответ_______________________________________
4.(5 баллов) Число a является корнем уравнения . Найдите значение .
Решение_____________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Ответ_______________________________________
5.(6 баллов) В треугольнике АВС стороны АВ и АС равны и биссектриса угла В пересекает АС в точке Е такой, что ВС = ВЕ + ЕА. Найти угол А.
Решение_____________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
Ответ________________________________________
6.(6 баллов) Изобразите на координатной плоскости множество точек (x;y), координаты которых удовлетворяют неравенству 3-y≥x2-1.
Решение______________________________________
_____________________________________________ _____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
Ответ_______________________________________
7.(7 баллов) Какое наибольшее число ладей можно разместить на шахматной доске так, чтобы для каждой ладьи либо её горизонталь, либо её вертикаль (либо и та, и другая) были свободны от других ладей?
Решение_____________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Ответ_______________________________________
8.(7 баллов) Квадрат простого числа р увеличили на 160 и получили квадрат натурального числа. Найдите р.
Решение_____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________Ответ_______________________________________
9.(7 баллов)Имеется 6 палочек длины 11, 12, 13, 14, 15, 16. Можно ли из них сложить равнобедренный тупоугольный треугольник? (Палочки нельзя ломать, их можно прикладывать концами друг к другу; требуется использовать все палочки.)
Решение_____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________Ответ_______________________________________
10.(7 баллов) Две машины выехали одновременно из одного пункта и едут в одном направлении. Одна машина ехала со скоростью 50 км/час, а вторая – 40 км/час. Спустя полчаса из того же пункта и в том же направлении выехала третья машина, которая обогнала первую на полтора позже, чем вторую. Найти скорость третьей машины.
Решение
Ответ_______________________________________
Ответы на олимпиадные задания по математике в 9 классе
Ответ: 1. Решение. Пиноккио говорил 5 раз. Последний раз он сказал правду, так как в обратном случае число бородавок после пятого высказывания было бы четным. Значит, после четвертого высказывания у него было 6 бородавок, и из этих четырех высказываний лишь одно правдиво. Это правдивое высказывание не может быть четвертым, так как тогда после него число бородавок было бы нечетным. Итак, четвертый раз он соврал, и после третьего высказывания у него было 3 бородавки. Точно также заключаем, что третье высказывание было правдивым, то есть после второго высказывания у него было 4 бородавки и оба первых высказывания лживы. Значит, у тром у него была 1 бородавка.
Ответ: 12-16 < 310 . Решение. Обозначим через x=12-16 . Имеем x2=2-33. Но для y=323-3102 получаем y=1,73, далее y2=2,9929<3 и y<3. Отсюда 23-3102<33 , x2<3102 и, наконец, x<310.Ответ: x+2 . Решение. х3+ 5х2- 4х-20х2+ 3х-10=x2x+5-4x+5x+5x-2=x+5x-2x+2x+5x-2=x+2.
Ответ: 10100.  Решение. Возводя в квадрат выражение , получим . Отсюда получаем ответ задачи.

468820510833104688205-2540 Ответ: А=100°. Решение. Возьмём точку Х на ВС такую, что ВХ = ВЕ (см.рис.1). Тогда СХ = АЕ и СХСЕ=АЕСЕ=АВВС=АСВС . Треугольники ВАС и СХЕ подобны, поскольку у них общий угол С и одинаковое отношение заключающих этот угол сторон. Поэтому ХС = ХЕ. Тогда ВХЕ = 2∙С. Но С = 90° А2 и ВХЕ = 90° В4 (поскольку треугольник ВЕХ равнобедренный) = 90° (90° А2)4 . Отсюда А=100°.
Ответ: При y≤3 имеем y≤4-x2 , а при y>3 получаем y≥x2+2 . Соответствующая фигура, ограниченная дугами двух парабол, изображена на рисунке 2.
Ответ: 14. Решение. Ладью на шахматной доске назовём вертикальной, если на её вертикали нет других ладей. Аналогично, определим горизонтальные ладьи (в принципе, ладья может оказаться одновременно горизонтальной и вертикальной). Если имеется 8 вертикальных ладей, то больше на доске ладей нет (иначе новая ладья попала бы на чью-нибудь вертикаль из данных восьми ладей). Аналогично, если есть 8 горизонтальных ладей, то больше ладей нет. Покажем, что можно поставить 7 горизонтальных и 7 вертикальных ладей, что даст максимальное количество – 14 ладей. Действительно, их можно расположить на первой горизонтали и первой вертикали, кроме угловой клетки a1 (т.е. ладьи занимают клетки a2, a3,…,a8, b1, c1,…, h1).
Ответ: p=3.  Решение. Случай p=2 сразу после проверки исключаем. Имеем уравнение . Значит, произведение множителей (n+p) и (n–p) равно 160=25. Разность этих множителей равна 2p и поэтому делится на 2, но не на 4. Тогда получаем два возможных варианта разложения 160 на два множителя с общим делителем, кратным 2, но не 4: это разложения 802 и 1610. Первое разложение даёт p=39, но это не простое число, а второе разложение даёт p=3.
Ответ: Нельзя. Решение. Если бы такой треугольник можно было сложить, то в его основании должно было быть две палочки (в основании не могут быть три или четыре палочки: дело в том, что тогда оставшиеся три или две палочки нельзя разложить на две группы с одинаковой суммой, т.к. 16<11+12). Но даже если в основании будут две самые длинные палочки, (т.е.15+16), равнобедренный треугольник со сторонами 31, 25, 25 будет остроугольным, т.к. (31) 2 (25).
Ответ: 60км/час. Решение. За полчаса первая машина проедет 25 км, а вторая 20 км. Если скорость третьей машины х , то время, за которое она догонит первую машину, равно 25x-50 , а вторую 20x-40 . Получаем уравнение 25x-50-20x-40= 32 .

Приложенные файлы


Добавить комментарий