методический материал


Cодержание
1. Из биографии Пифагора ……………………………………………………………………….2
2. Учение Пифагора ……...……………………………………………….………………………...…4
3. Из истории теоремы Пифагора…………………………………………………………..…….6
4. Способы доказательств теоремы ………………………………………………………..…..11
5. Применение теоремы Пифагора ……………………………………………………….…… 29
6. Задачи с решением …………………………………….……………………………….……………33
7. Задачи для самостоятельного решения ………………………………………………… 58
8. Дидактический материал……………………...…………………………………….……………61
9. Задачи открытого банка данных для ЕГЭ………………………………………………….65
10. Список литературы …………………………………………………….………………………… 73
1. Из биографии Пифагора
Пифагор Самосский – великий греческий учёный. Его имя знакомо каждому школьнику. Если попросят назвать одного древнего математика, то абсолютное большинство назовёт Пифагора. Его известность связана с названием теоремы Пифагора. Хотя сейчас уже мы знаем, что эта теорема была известна в древнем Вавилоне за 1200 лет до Пифагора, а в Египте за 2000 лет до него был известен прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5, мы по-прежнему называем её по имени этого древнего учёного.
Про жизнь Пифагора достоверно почти ничего не известно, но с его именем связано большое количество легенд.
Пифагор родился в 570 году до н. э на острове Самос. Отцом Пифагора был Мнесарх – резчик по драгоценным камням. Мнесарх, по словам Апулея, «славился среди мастеров своим искусством вырезать геммы», но стяжал скорее славу, чем богатство. Имя матери Пифагора не сохранилось.
Пифагор имел красивую внешность, носил длинную бороду, а на голове золотую диадему. Пифагор - это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как греческий оракул. (Пифагор - "убеждающий речью".)
Среди учителей юного Пифагора были старец Гермодамант и ФерекидСиросский (хотя и нет твердой уверенности в том, что именно Гермодамант и Ферекид были первыми учителями Пифагора). Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца Гермодаманта, внимая мелодии кифары и гекзаметрам Гомера.
. Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи признанным мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с пения одной из песен Гомера. Ферекид же был философом и считался основателем италийской школы философии. Таким образом, если Гермодамант ввел юного Пифагора в круг муз, то Ферекид обратил его ум к логосу. Ферекид направил взор Пифагора к природе и в ней одной советовал видеть своего первого и главного учителя. Но как бы то ни было, неугомонному воображению юного Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосе, и он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым - Фалесом. Фалес советует ему отправится за знаниями в Египет, что Пифагор и сделал.
В 548 г. до н.э. Пифагор прибыл в Навкратис - самосскую колонию, где было у кого найти кров и пищу. Изучив язык и религию египтян, он уезжает в Мемфис. Несмотря на рекомендательное письмо фараона, хитроумные жрецы не спешили раскрывать Пифагору свои тайны, предлагая ему сложные испытания. Но влекомый жаждой к знаниям, Пифагор преодолел их все, хотя по данным раскопок египетские жрецы не многому могли его научить, т.к. в то время египетская геометрия была чисто прикладной наукой (удовлетворявшей потребность того времени в счете и в измерении земельных участков). Поэтому, научившись всему, что дали ему жрецы, он, убежав от них, двинулся на родину в Элладу. Однако, проделав часть пути, Пифагор решается на сухопутное путешествие, во время которого его захватил в плен Камбиз, царь Вавилона, направлявшийся домой.
Не стоит драматизировать жизнь Пифагора в Вавилоне, т.к. великий властитель Кир был терпим ко всем пленникам. Вавилонская математика была, бесспорно, более развитой (примером этому может служить позиционная система исчисления), чем египетская, и Пифагору было чему поучится. Но в 530 г. до н.э. Кир двинулся в поход против племен в Средней Азии. И, пользуясь переполохом в городе, Пифагор сбежал на родину. А на Самосе в то время царствовал тиран Поликрат. Конечно же, Пифагора не устраивала жизнь придворного полураба, и он удалился в пещеры в окрестностях Самоса. После нескольких месяцев притязаний со стороны Поликрата, Пифагор переселяется в Кротон. В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского ордена ("Пифагорейцы"), члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни. Это был одновременно и религиозный союз, и политический клуб, и научное общество. Надо сказать, что некоторые из проповедуемых Пифагором принципов достойны подражания и сейчас.
...Прошло 20 лет. Слава о братстве разнеслась по всему миру. Однажды к Пифагору приходит Килон, человек богатый, но злой, желая спьяну вступить в братство. Получив отказ, Килон начинает борьбу с Пифагором, воспользовавшись поджогом его дома. При пожаре пифагорейцы спасли жизнь своему учителю ценой своей, после чего Пифагор затосковал и вскоре покончил жизнь самоубийством.
2.Учение Пифагора
В "Перечне математиков", приписываемом Евдему, о Пифагоре сказано так: "Как передают, Пифагор превратил занятие этой отраслью знания (геометрией) в настоящую науку, рассматривая ее основы с высшей точки зрения и исследуя ее теории менее материальным и более умственным образом".
Пифагору приписываются создание основ планиметрии, введение широкого и обязательного использования доказательств в геометрии, создание учения о подобии, доказательство теоремы о сторонах прямоугольного треугольника, правил построения некоторых правильных многоугольников и многогранников: куб, тетраэдр, додекаэдр. Грани додекаэдра являются правильными пятиугольниками. Диагонали же правильного пятиугольника образуют так называемый звёзчатый пятиугольник (звёздочка) – фигура, которая служила эмблемой, опознавательным знаком для учеников Пифагора. Согласно легенде, один пифагореец заболел на чужбине и не мог перед смертью расплатиться с ухаживающим за ним хозяином дома. Последний нарисовал на стене своего дома звёздчатый пятиугольник. Увидав через несколько лет этот знак, другой странствующий пифагореец осведомился о случившемся у хозяина и щедро его вознаградил.
Пифагор-математик был и одним из величайших философов, учение которого, к сожалению, не сохранилось до наших дней. Для всех - и высших, и низших - у Пифагора было мудрое изречение:
"Следует избегать всеми средствами, отсекая огнем и мечом, и всем, чем только можно, от тела - болезнь, от души - невежество, от желудка - излишнего, от города - смуту, от дома - раздоры, и от всего вместе - неумеренность."
Пифагор основал философскую школу - пифагореизм, в которой большое значение придается музыке и числам. Число понимается как термин, приложимый ко всем цифрам и их комбинациям. Пифагор определял число как энергию и считал, что через науку о числах раскрывается тайна Вселенной, ибо число заключает в себе тайну вещей. Пифагор пытался создать науку всех наук. Все числа он разделил на два вида: четные и нечетные, и выявил свойства чисел каждой группы.
Числа у пифагорейцев выступают основополагающими универсальными объектами, к которым предполагалось свести не только математические построения, но и все многообразие действительности. Физические, этические, социальные и религиозные понятия получили математическую окраску. Науке о числах и других математических объектах отводится
основополагающее место в системе мировоззрения, то есть фактически математика объявляется философией. Как писал Аристотель,
"...у чисел они усматривали, казалось бы, много сходных черт с тем, что существует и происходит, - больше, чем у огня, земли и воды... У них, по-видимому, число принимается за начало и в качестве материи для вещей, и в качестве выражения для их состояний и свойств... Например, такое-то свойство чисел есть справедливость, а такое-то - душа и ум, другое - удача, и можно сказать - в каждом из остальных случаев точно также. "
В школе Пифагора было открыто существование несоизмеримых величин, то есть таких, отношение между которыми невозможно выразить никаким целым или дробным числом. Примером может служить отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны, равное √2. Число это не является рациональным (то есть целым или отношением двух целых чисел) и называется иррациональным, то есть не рациональным (от латинскогоratio отношение).
Пифагорейцы не знали других чисел, кроме рациональных. Построив диагональ квадрата, сторона которого равна 1, они констатировали, что она не может быть выражена никаким числом, так как для них не было других чисел, кроме целых и дробных. Этот факт привёл в большое смущение пифагорейцев, так как в основе их философии лежало понятие о числе, как основе всех вещей и явлений природы. Но вот эта великая основа – число – не в состоянии выразить длины простого отрезка в простой фигуре – диагонали квадрата. Вот почему открытие несоизмеримых величин явилось большим ударом по учению Пифагора и пифагорейцы долго его держали в строгой тайне. Согласно преданию, ученик Пифагора, раскрывший публично эту тайну, был наказан богами и погиб во время кораблекрушения.
Когда в греческих колониях Южной Италии пришли к власти сторонники рабовладельческой демократии, школа Пифагора, выражавшая интересы рабовладельческой аристократии, была разгромлена. Пифагорейцы бежали из Кротона и Тарента в разные другие города. Это обстоятельство во многом способствовало распространению пифагорейской математики по всей Греции и частично за её пределами.
3. Из истории теоремы Пифагора
В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что именно Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал". С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в "Началах" принадлежит самому Евклиду.
Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных конкретных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Зато легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Многим известен сонет немецкого писателя-романиста Шамиссо:
Пребудет вечной истина, как скоро
Ее познает слабый человек!И ныне теорема ПифагораВерна, как и в его далекий век.
 Обильно было жертвоприношенье Богам от Пифагора. Сто быков Он отдал на закланье и сожженье
 Засвета луч, пришедший с облаков
 Поэтому всегда с тех самых пор, Чуть истина рождается на свет, Быки ревут, ее почуя, вслед.
 Они не в силах свету помешать, А могут лишь, закрыв глаза, дрожать От страха, что вселил в них Пифагор. Исторический обзор теоремы Пифагора начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:
"Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4".
Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого.
Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.
Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея).
По мнению Кантора, гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.
Несколько больше было известно о теореме Пифагора вавилонянам. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т.е. к 2000 году до нашей эры, приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника; отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере, в некоторых случаях.
Геометрия у индусов была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 8 века до нашей эры. Наряду с чисто ритуальными предписаниями, существуют и сочинения геометрически теологического характера, называемые Сульвасутры. В этих сочинениях, относящихся к 4 или 5 веку до нашей эры, мы встречаемся с построением прямого угла при помощи треугольника со сторонами 15, 36, 39.
В средние века теорема Пифагора определяла границу, если не наибольших возможных, то, по крайней мере, хороших математических знаний. Характерный чертеж теоремы Пифагора, который ныне иногда превращается школьниками, например, в облаченного в мантию профессора или человека в цилиндре, в те времена нередко употреблялся как символ математики. Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Donsasinorum – ослиный мост, или elefuga – бегство «убогих», так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьёзной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них чем то вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли её также «ветряной мельницей», составляли стихи вроде «Пифагоровы штаны во все стороны равны», рисовали карикатуры.

В наше время формулировку теоремы Пифагора можно запомнить и в стихотворной форме ( И Дрыченко):
Гляньте, два родных брата -Это катеты в квадрате.И, конечно, с ними дружитИ квадрат гипотенузы.
Если дан нам треугольник ,И притом с прямым углом,То квадрат гипотенузыМы всегда с тобой найдем:
Катеты в квадрат возводим,Сумму их легко находим -И таким простым путемК результату мы придем.
В заключение приведем различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков.
Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):
"В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол".
Латинский перевод арабского текста Аннариции(около 900 года до нашей эры), сделанный Герхардом Кремонским (12 век) гласит (в переводе):
«Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол»
В GeometryCulmonensis (около 1400года) теорема читается так (в переводе):
“Итак, площадь квадрата, измеренного подлиной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу”
В русском переводе евклидовых «Начал», теорема Пифагора изложена так:
«В прямоугольном треугольнике квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол».
Как видим, в разных странах и разных языках существуют различные варианты формулировки знакомой нам теоремы. Созданные в разное время и в разных языках, они отражают суть одной математической закономерности, доказательство которой также имеет несколько вариантов.
4.Способы доказательств теоремы
Простейшее доказательство
  Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников , чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника ABC : квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах,- по два.
Теорема доказана.
Доказательства методом разложения
Существует целый ряд доказательств теоремы Пифагора, в которых квадраты, построенные на катетах и на гипотенузе, разрезаются так, что каждой части квадрата ,построенного на гипотенузе, соответствует часть одного из квадратов, построенных на катетах. Во всех этих случаях для понимания доказательства достаточно одного взгляда на чертеж; рассуждение здесь может быть ограничено единственным словом: "Смотри!", как это делалось в сочинениях древних индусских математиков. Следует, однако, заметить, что на самом деле доказательство нельзя считать полным, пока мы не доказали равенства всех соответствующих друг другу частей. Это почти всегда довольно не трудно сделать, однако может (особенно при большом количестве частей) потребовать довольно продолжительной работы.
Доказательство Эпштейна
Начнем с доказательства Эпштейна(рис. 1) ; его преимуществом является то, что здесь в качестве составных частей разложения фигурируют исключительно треугольники. Чтобы разобраться в чертеже, заметим, что прямая CD проведена перпендикулярно прямой EF.
Разложение на треугольники можно сделать и более наглядным, чем на рисунке.

Доказательство Нильсена.
На рисунке вспомогательные линии изменены по предложению Нильсена.

Доказательство Бетхера .
На рисунке дано весьма наглядное разложение Бетхера.

Доказательство Перигаля.
В учебниках нередко встречается разложение указанное на рисунке (так называемое "колесо с лопастями"; это доказательство нашел Перигаль). Через центр O квадрата, построенного на большем катете, проводим прямые, параллельную и перпендикулярную гипотенузе. Соответствие частей фигуры хорошо видно из чертежа.

Доказательство Гутхейля.
Изображенное на рисунке разложение принадлежит Гутхейлю; для него характерно наглядное расположение отдельных частей, что позволяет сразу увидеть, какие упрощения повлечет за собой случай равнобедренного прямоугольного треугольника.

Доказательство 9 века н.э.
Ранее были представлены только такие доказательства, в которых квадрат, построенный на гипотенузе, с одной стороны, и квадраты,построенные на катетах, с другой, складывались из равных частей. Такие доказательства называются доказательствами при помощи сложения ("аддитивными доказательствами") или, чаще, доказательствами методом разложения. До сих пор мы исходили из обычного расположения квадратов, построенных на соответствующих сторонах треугольника, т. е. вне треугольника. Однако во многих случаях более выгодно другое расположение квадратов.
На рисунке квадраты, построенные на катетах, размещены ступенями один рядом с другим. Эту фигуру, которая встречается в доказательствах, датируемых не позднее, чем 9 столетием н. э., индусы называли "стулом невесты". Способ построения квадрата со стороной, равной гипотенузе, ясен из чертежа. Общая часть двух квадратов, построенных на катетах, и квадрата, построенного на гипотенузе, - неправильный заштрихованный пятиугольник 5. Присоединив к нему треугольники 1 и 2, получим оба квадрата, построенные на катетах; если же заменить треугольники 1 и 2 равными им треугольниками 3 и 4, то получим квадрат, построенный на гипотенузе. На рисунках ниже изображены два различных расположения близких к тому, которое дается на первом рисунке.

Доказательства методом дополнения.
Доказательство первое.
Наряду с доказательствами методом сложения можно привести примеры доказательств при помощи вычитания, называемых также доказательствами методом дополнения. Общая идея таких доказательств заключается в следующем.
От двух равных площадей нужно отнять равновеликие части так, чтобы в одном случае остались два квадрата, построенные на катетах, а в другом- квадрат, построенный на гипотенузе. Ведь если в равенствах
В-А=С и В1-А1=С1
частьА равновелика части А1, а часть В равновелика В1, то части С и С1 также равновелики.
Поясним этот метод на примере. На рис. к обычной пифагоровой фигуре приставлены сверху и снизу треугольники 2 и 3, равные исходному треугольнику 1. Прямая DG обязательно пройдет через C. Заметим теперь (далее мы это докажем), что шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики. Если мы от первого из них отнимем треугольники 1 и 2, то останутся квадраты, построенные на катетах, а если от второго шестиугольника отнимем равные треугольники 1 и 3, то останется квадрат,построенный на гипотенузе. Отсюда вытекает, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов,построенных на катетах.
Остается доказать, что наши шестиугольники равновелики. Заметим, что прямая DG делит верхний шестиугольник на равновеликие части; то же можно сказать о прямой CK и нижнем шестиугольнике. Повернем четырехугольник DABG, составляющий половину шестиугольника DABGFE, вокруг точки А по часовой стрелке на угол 90; тогда он совпадет с четырехугольником CAJK, составляющим половину шестиугольника CAJKHB. Поэтому шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики.
Другое доказательство методом вычитания.
Познакомимся с другим доказательством методом вычитания. Знакомый нам чертеж теоремы Пифагора заключим в прямоугольную рамку, направления сторон которой совпадают с направлениями катетов треугольника. Продолжим некоторые из отрезков фигуры так, как указано на рисунке, при этом прямоугольник распадается на несколько треугольников, прямоугольников и квадратов. Выбросим из прямоугольника сначала несколько частей так чтобы остался лишь квадрат, построенный на гипотенузе. Эти части следующие:
треугольники 1, 2, 3, 4;
прямоугольник 5;
прямоугольник 6 и квадрат 8;
прямоугольник 7 и квадрат 9;
Затем выбросим из прямоугольника части так, чтобы остались только квадраты, построенные на кататах. Этими частями будут:
прямоугольники 6 и 7;
прямоугольник 5;
прямоугольник 1(заштрихован);
прямоугольник 2(заштрихован);
Нам осталось лишь показать, что отнятые части равновелики. Это легко видеть в силу расположения фигур. Из рисунка ясно, что:
прямоугольник 5 равновелик самому себе;
четыре треугольника 1,2,3,4 равновелики двум прямоугольникам 6 и 7;
прямоугольник 6 и квадрат 8, взятые вместе, равновелики прямоугольнику 1 (заштрихован);;
прямоугольник 7 вместе с квадратом 9 равновелики прямоугольнику 2(заштрихован);
Доказательство закончено.
Доказательство Евклида.
Это доказательство было приведено Евклидом в его "Началах". По свидетельству Прокла (Византия), оно придумано самим Евклидом. Доказательство Евклида приведено в предложении 47 первой книги "Начал".
На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник ICEL - квадрату АСКС. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе.
В самом деле, треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними:
FB = AB, BC = BD
РFBC = d + РABC = РABD
Но
SABD = 1/2 S BJLD,
так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично
SFBC=1\2S ABFH
(BF-общее основание, АВ-общая высота). Отсюда, учитывая, что
SABD=SFBC,
имеем
SBJLD=SABFH.
Аналогично, используя равенство треугольников ВСК и АСЕ, доказывается, что
SJCEL=SACKG.
Итак,
SABFH+SACKG= SBJLD+SJCEL= SBCED,
что и требовалось доказать.
Упрощенное доказательство Евклида.
Как в доказательствах методом разложения, так и при доказательстве евклидового типа можно исходить из любого расположения квадратов. Иногда при этом удается достигнуть упрощений.
Пусть квадрат,построенный на одном из катетов (на рисунке это квадрат,построенный на большем катете), расположен с той же стороны катета, что и сам треугольник. Тогда продолжение противоположной катету стороны этого квадрата проходит через вершину квадрата, построенного на гипотенузе. Доказательство в этом случае оказывается совсем простым, т. к. здесь достаточно сравнить площади интересующих нас фигур с площадью одного треугольника(он заштрихован) - площадь этого треугольника равна половине площади квадрата и одновременно половине площади прямоугольника

Доказательство Хоукинсa.
Приведем еще одно доказательство, которое имеет вычислительный характер, однако сильно отличается от всех предыдущих. Оно опубликовано англичанином Хоукинсом в 1909 году; было ли оно известно до этого- трудно сказать.
Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A'CB'. Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В'D будет высотой треугольника В'АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В . Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA' и СВВ' (или на два треугольника A'В'А и A'В'В).
SCAA'=b²/2
SCBB'=a²/2
SA'AB'B=(a²+b²)/2
Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и высоты DA и DB, поэтому :
SA'AB'B=c*DA/2+ c*DB/2=c(DA+DB)/2=c²/2
Сравнивая два полученных выражения для площади, получим:
a²+b²=c²
Теорема доказана.

Доказательство Вальдхейма.
Это доказательство также имеет вычислительный характер. Можно использовать рисунки для доказательства основанного на вычислении площадей двумя способами.
Для того чтобы доказать теорему пользуясь первым рисунком достаточно только выразить площадь трапеции двумя путями.
Sтрапеции=(a+b)²/2
Sтрапеции=a²b²+c²/2
Приравнивая правые части получим:
a²+b²=c²
Теорема доказана.

Доказательство основанное на теории подобия.
В прямоугольном треугольника АВС проведем из вершины прямого угла высоту CD; тогда треугольник разобьется на два треугольника, также являющихся прямоугольными. Полученные треугольники будут подобны друг другу и исходному треугольнику. Это легко доказать, пользуясь первым признаком подобия(по двум углам). В самом деле, сразу видно что, кроме прямого угла, треугольники АВС и ACD имеют общий угол a, треугольники CBD и АВС - общий угол b. То, что малые треугольники также подобны друг другу, следует из того, что каждый из них подобен большому треугольнику. Впрочем, это можно установить и непосредственно.
Доказательство индийского математика Басхары изображено на рисунке. В пояснение к нему он написал только одну строчку: "Смотри!". Ученые считают, что он выражал площадь квадрата ,построенного на гипотенузе, как сумму площадей треугольников (4ab/2) и площадь квадрата (a-b)². Следовательно:
c²=4ab/2+(a-b)²
c=2ab+a²-2ab+b²
c²=a²+b²
Теорема доказана.

Луночки Гиппократа
Для того, чтобы доказать теорему о гиппократовых луночках, докажем следующее предложение: Если на катетах и на гипотенузе прямоугольного треугольника построены какие угодно подобные между собой фигуры Fa, Fb, Fc, так, что катеты и гипотенуза являются сходственными отрезками этих фигур, то имеет место равенство: Fa+Fb=Fc.
Для доказательства воспользуемся следующей теоремой из теории подобия: площади подобных многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон.
Если через Fa, Fb, Fc обозначить площади подобных многоугольников, построенных на катетах a, b и гипотенузе с прямоугольного треугольника, то согласно вспомогательной теореме можно написать:
Fa/Fb/Fc=a²/b²/c².
Эта пропорция означает,что можно найти число k (коэффицент пропорциональности) такое, что
Fa=ka² Fb=kb² Fc=kc².
.
Умножив обе части равенства на k и принимая во внимание предыдущие равенства, получим:
Fa+Fb=Fc.
Если равенство Fa+Fb=Fc имеет место хотя бы для одной тройки подобных между собой многоугольников, построенных на катетах и на гипотенузе прямоугольного треугольника АВС так, что АС, ВС и АВ есть сходственные отрезки этих многоугольников, то
ka²+kb²=kc²
(где k имеет какое-то определенное значение, зависящее от выбора многоугольников, - нам совершенно не важно, какое именно). Но отсюда вытекает, что
а²+b²=с²,
а это влечет за собой тот факт,что равенство Fa+Fb=Fc выполняется для любых построенных на сторонах прямоугольного треугольника подобных многоугольников, в частности, и для квадратов.

Познакомимся с одним интересным предложением, которое встречается во многих учебниках геометрии под названием теоремы о Гиппократовых луночках.
Гиппократ Хиосский (вторая половина пятого века до н. э., Афины) занимался квадратурой луночек. Он называл луночкой часть плоскости, ограниченную двумя дугами окружностей. Наше предложение в том виде, как оно будет здесь сформулировано, не встречается у самого Гипократа, который нашел квадратуру только для некоторых луночек. Во всей общности теорему доказал араб Ибн Альхаитам:
"Если на гипотенузе прямоугольного треугольника как на диаметре описать полуокружность, лежащую с той же стороны гипотенузы, что и сам треугольник, то она пройдет через вершину прямого угла."Эту теорему греки приписывали Фалесу Милетскому, но в действительности ее знали еще древние вавилоняне.
Опишем две полуокружности на катетах так, как указано на рисунке, тогда получатся две луночки. Пусть Ка,Кв,Кс- площади полукругов, построенных на катетах и гипотенузе. Согласно теореме, рассмотренной ранее, имеем:
Ка+Кb=Кс.
Этот же результат можно получить, умножив обе части равенства
А²+В²=С² на π/8.
В самом деле, равенство
(π/8)А+(π/8)В=(π/8)С
означает,что площадь полукруга С диаметром с равна сумме площадей двух других полукругов, с диаметрами a и b. Если мы отнимем те же части(на рисунке они не заштрихованы )как от полукруга,построенного на гипотенузе, так и от полукругов, построенных на катетах, то, вследствие только что доказанной теоремы, получим, что сумма площадей луночек равна площади треугольника.

Векторное доказательство.
Пусть АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, построенный на векторах. Тогда справедливо векторное равенство:b+c=a
откуда имеем
c = a - b
возводя обе части в квадрат, получим
c²=a²+b²-2ab
Так как a перпендикулярно b, то ab=0, откуда
c²=a²+b² или c²=a²+b²
Нами снова доказана теорема Пифагора.
Если треугольник АВС - произвольный, то та же формула дает т. н. теорему косинусов, обобщающую теорему Пифагора.
Применение теоремы Пифагора
Теорема Пифагора - это одна из самых важных теорем геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Одна из теорем позволяет убедиться в том, что если из точки вне прямой проведены к ней перпендикуляр и наклонные, то:
а)наклонные равны, если равны их проекции;
б)та наклонная больше, которая имеет большую проекцию.Теорема Пифагора была первым утверждением, связавшим длины сторонтреугольников. Потом узнали, как находить длины сторон и углы остроугольных и тупоугольных треугольников. Возникла целая наука тригонометрия («тригон» - погречески означает «треугольник»).
Эта наука нашла применение в землемерии.
Но еще раньше с ее помощью научились измерять воображаемые треугольники на небе, вершинами которых были звезды.Сейчас тригонометрию применяют даже для измерения расстояний между космическими кораблями.
Теорема Пифагора позволяет по любым двум сторонам прямоугольного треугольника найти его третью сторону. Решая эту задачу, нам приходится по известному квадрату положительного числа находить само это число.
Благодаря тому что теорема Пифагора позволяет находить длину отрезка (гипотенузы), не измеряя его непосредственно, она как бы открывает путь с прямой на плоскость, с плоскости в трёхмерное пространство и дальше - в многомерные пространства. Этим определяется её исключительная важность для геометрии и математики в целом.
Формулы, связывающие между собой длины отрезков, площади, величины углов в фигурах, называют метрическими соотношениями. И пожалуй, самое знаменитое из таких соотношений - теорема Пифагора. Она устанавливает простую зависимость между сторонами треугольника.
Благодаря тому что теорема Пифагора позволяет находить длину отрезка (гипотенузы), не измеряя его непосредственно, она как бы открывает путь с прямой на плоскость, с плоскости в трёхмерное пространство и дальше - в многомерные пространства. Этим определяется её исключительная важность для геометрии и математики в целом.
Теорема Пифагора лежит в основе большинства геометрических вычислений. Ещё в Древнем Вавилоне с её помощью вычисляли длину высоты равнобедренного треугольника по длинам основания и боковой стороны, стрелку сегмента - по диаметру окружности и длине хорды, устанавливали соотношения между элементами некоторых правильных многоугольников.
В некотором смысле в теореме Пифагора, как в зерне, заключена вся евклидова планиметрия. Вспомним формулу для расстояния между точками А (x1; y1) и В (x2;y2) в декартовых координатах:
АВ = .
С одной стороны, это просто теорема Пифагора для треугольника с гипотенузой АВ и катетами, параллельными осям координат (их длины равны и ). С другой стороны, если считать пары чисел (х; у) точками плоскости, тогда эта формула уже является определением расстояния. Из неё можно вывести все понятия, непосредственно определяемые через расстояния, - такие, как равенство и подобие фигур. Или, например, окружность. Она определяется как множествопар чисел (х; у), для которых
= сonst,
где (х0; yо) - некоторая заданная точка (центр окружности).
Можно определить и все другие геометрические понятия в терминах расстояний: в частности, отрезок АВ - это множество таких точек С, что АС + СВ =АВ. А стоит добавить ещё одну координату zи соответствующее слагаемое (z2-z1)2в формулу расстояния – и мы в трёхмерном пространстве. Подобным же образом геометрическая структура вводится в пространствах любой, даже бесконечной размерности.
Теорема Пифагора лежит в основе многих более общих метрических соотношений на плоскости и в пространстве. В значительной мере на неё опирается и тригонометрия: ведь важнейшее тригонометрическое тождество cos2 а + sin2 а = 1 - это та же теорема Пифагора, записанная в другом виде.
Также теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов:
с2= а2 + в2 - 2авсоs С .
Если угол С прямой, то с2 = а2 + в2, так как косинус прямого угла равен нулю.
Из формулы с2= а2 + в2 - 2авсоs С следует соотношение d12+d22 = 2(а2 + b2 ) между длинами диагоналей и сторон параллелограмма, с помощью которого легко найти длину медианы треугольника по длинам его сторон.
На основании теоремы Пифагора выводится и формула, выражающая площадь любого треугольника через длины его сторон (формула Герона). Разумеется, теорему Пифагора применяли и для решения разнообразных практических задач.
Вместо квадратов на сторонах прямоугольного треугольника можно строить любые подобные между собой фигуры (равносторонние треугольники, полукруги и т. д.). При этом площадь фигуры, построенной на гипотенузе, равна сумме площадей фигур, построенных на катетах. Другое обобщение связано с переходом от плоскости к пространству. Оно формулируется так: квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений (длины, ширины и высоты). Аналогичная теорема верна и в многомерном и даже бесконечномерном случаях.
В древности пифагоровым треугольникам придавали особое значение, иногда приписывали им волшебные, мистические свойства. В настоящее время известно, что пифагоровых треугольников существует бесконечно много, причём любой из них может быть получен по формулам
a = k (p2 – q2), b = 2kpq, c = k (p2 + q2), где k,p,q – натуральные числа.
Пифагоровы тройки – это наборы из трёх натуральных чисел (x, y и z), из которых сумма квадратов двух чисел равна квадрату третьего числа (x2 + y2 = z2 ). В школьной программе пифагоровы тройки не изучаются, появляясь лишь как любопытный частный случай при рассмотрении прямоугольных треугольников. Между тем, пифагоровы тройки являются объектом теории чисел. .. Сейчас уже найдены стороны 50-го «пифабедренного» треугольника, значения которых очень велики.
Поскольку уравнение x2 + y2 = z2 однородно, при домножении x, y и z на одно и то же число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной, если она не может быть получена таким способом, то есть x,y,z — взаимно простые числа. Треуголь-ник, стороны которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Простейший из них — египетский треугольник со сторонами 3, 4 и 5 (32 + 42 = 52).Некоторые Пифагоровы тройки: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 35, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…
Пифагоровы тройки имеют важное значение в геометрии. Несмотря на то, что в школе на изучение Пифагоровых троек не отводится много времени, в настоящее время знание их необходимо при решении многих математических задач.

Формулы, связывающие между собой длины отрезков, площади, величины углов в фигурах, называют метрическими соотношениями. И пожалуй, самое знаменитое из таких соотношений - теорема Пифагора. Она устанавливает простую зависимость между сторонами треугольника.
Благодаря тому что теорема Пифагора позволяет находить длину отрезка (гипотенузы), не измеряя его непосредственно, она как бы открывает путь с прямой на плоскость, с плоскости в трёхмерное пространство и дальше - в многомерные пространства. Этим определяется её исключительная важность для геометрии и математики в целом.
Теорема Пифагора лежит в основе большинства геометрических вычислений. Ещё в Древнем Вавилоне с её помощью вычисляли длину высоты равнобедренного треугольника по длинам основания и боковой стороны, стрелку сегмента - по диаметру окружности и длине хорды, устанавливали соотношения между элементами некоторых правильных многоугольников.
В некотором смысле в теореме Пифагора, как в зерне, заключена вся евклидова планиметрия. Вспомним формулу для расстояния между точками А (x1; y1) и В (x2;y2) в декартовых координатах:
АВ = .
С одной стороны, это просто теорема Пифагора для треугольника с гипотенузой АВ и катетами, параллельными осям координат (их длины равны и ). С другой стороны, если считать пары чисел (х; у) точками плоскости, тогда эта формула уже является определением расстояния. Из неё можно вывести все понятия, непосредственно определяемые через расстояния, - такие, как равенство и подобие фигур. Или, например, окружность. Она определяется как множество пар чисел (х; у), для которых
= сonst,
где (х0; yо) - некоторая заданная точка (центр окружности).
Можно определить и все другие геометрические понятия в терминах расстояний: в частности, отрезок АВ - это множество таких точек С, что АС + СВ =АВ. А стоит добавить ещё одну координату zи соответствующее слагаемое (z2-z1)2в формулу расстояния – и мы в трёхмерном пространстве. Подобным же образом геометрическая структура вводится в пространствах любой, даже бесконечной размерности.
Теорема Пифагора лежит в основе многих более общих метрических соотношений на плоскости и в пространстве. В значительной мере на неё опирается и тригонометрия: ведь важнейшее тригонометрическое тождество cos2 а + sin2 а = 1 - это та же теорема Пифагора, записанная в другом виде.
Также теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов:
с2= а2 + в2 - 2авсоs С .
Если угол С прямой, то с2 = а2 + в2, так как косинус прямого угла равен нулю.
Из формулы с2= а2 + в2 - 2авсоs С следует соотношение d12+d22 = 2(а2 + b2 ) между длинами диагоналей и сторон параллелограмма, с помощью которого легко найти длину медианы треугольника по длинам его сторон.
На основании теоремы Пифагора выводится и формула, выражающая площадь любого треугольника через длины его сторон (формула Герона). Разумеется, теорему Пифагора применяли и для решения разнообразных практических задач.
Вместо квадратов на сторонах прямоугольного треугольника можно строить любые подобные между собой фигуры (равносторонние треугольники, полукруги и т. д.). При этом площадь фигуры, построенной на гипотенузе, равна сумме площадей фигур, построенных на катетах. Другое обобщение связано с переходом от плоскости к пространству. Оно формулируется так: квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений (длины, ширины и высоты). Аналогичная теорема верна и в многомерном и даже бесконечномерном случаях.
В древности пифагоровым треугольникам придавали особое значение, иногда приписывали им волшебные, мистические свойства. В настоящее время известно, что пифагоровых треугольников существует бесконечно много, причём любой из них может быть получен по формулам
a = k (p2 – q2), b = 2kpq, c = k (p2 + q2), где k,p,q – натуральные числа.
Пифагоровы тройки – это наборы из трёх натуральных чисел (x, y и z), из которых сумма квадратов двух чисел равна квадрату третьего числа (x2 + y2 = z2 ). В школьной программе пифагоровы тройки не изучаются, появляясь лишь как любопытный частный случай при рассмотрении прямоугольных треугольников. Между тем, пифагоровы тройки являются объектом теории чисел. .. Сейчас уже найдены стороны 50-го «пифабедренного» треугольника, значения которых очень велики.Поскольку уравнение x2 + y2 = z2 однородно, при домножении x, y и z на одно и то же число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной, если она не может быть получена таким способом, то есть x,y,z — взаимно простые числа. Треугольник, стороны которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Простейший из них — египетский треугольник со сторонами 3, 4 и 5 (32 + 42 = 52).Некоторые Пифагоровы тройки: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 35, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…Пифагоровы тройки имеют важное значение в геометрии. Несмотря на то, что в школе на изучение Пифагоровых троек не отводится много времени, в настоящее время знание их необходимо при решении многих математических задач.
6.Задачи с решением.
Задача№1: (из китайской «Математики в девяти книгах» )

Дано:
«Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. Вцентре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?»
Решение:
1.Пусть глубина водоёма равна х чи, согласно условиям задачи расстояние от камыша до берега равна половине ширины водоема, т.е. 5 чи. Треугольник, образованныйкамышом, растущим со дна и наклонённым к берегу, и поверхностью водоёма, является прямоугольным, в котором поверхность водоёма (5 чи) и растущий камыш (х чи) являются катетами, а наклонённый камыш((х+1) чи) является
гипотенузой данного треугольника.
2.Согласно теореме Пифагора,
(х+1) 2 = х2 +52 ,
х2+2х+1-х2 = 25,
2х = 24,
x=12
Глубина водоёма составляет 12 чи, а длина камыша равна 12 + 1=13 чи.
Ответ: Глубина водоёма равна 12 чи, а длина камыша – 13 чи.

Задача№2:(Задача из учебника «Арифметика» Леонтия
Магницкого).
Дано:
«Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготъю 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы пилений конец от стены отстоятиимать»
Решение:
1.Обозначим основание стены – С , соединение лестницы со стеной – А, а основание лестницы – В, в результате получили треугольник АВС, в котором угол ВСА прямой.Согласно условию задачи катет АС=117(стоп), гипотенуза АВ=125(стоп).
2.Согласно теореме Пифагора АВ2 = АС2 + СВ2 ,
СВ2= АВ2 - АС2 = 1252-1172 = 1936,
СВ = = 44( стопы)
Ответ: основание лестницы надо расположить на 44 стопы от стены.Задача№3 : (индийского математика ХII века Бхаскары)
Дано:
«На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой
С теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в этом месте река
В четыре лишь фута была широка
Верхушка склонилась у края реки.
Осталось три фута всего от ствола.
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
У тополя как велика высота?»
Решение:
1. Обозначим основание тополя – С, соединение вершины тополя с противоположным берегом реки –А, точку надлома тополя – В, а вершину тополя – D, в результате получили треугольник АВС, в котором угол ВСА прямой. Согласно условию задачи катет АС = 4(фута), катет СВ = 3(фута).
2.Согласно теореме Пифагора АВ2= АС2 +СВ2,
АВ2= СВ2 +АС2 = 32+42 = 25,
АВ = √25 = 5 ( футов)
3.Высота всего тополя равна CD = CB + BD, т.к. BD = АВ = 5 футов, то СD = 3+5 = = 8 (футов).
Примечание:используя понятие египетского треугольника решение данной задачи может быть следующим: т.к. треугольник АВС прямоугольный и катеты равны 3,4 футам, то гипотенуза равна 5 футам, высота тополя соответственно равна 8 футам.
Ответ: высота тополя составляет 8 футов.
Задача №4:(о бамбуке из древнекитайского трактата "Гоу-гу")
Имеется бамбук высотой в 1 чжан. Вершину его согнули так, что она касается земли на расстоянии 3 чи от корня (1 чжан = 10 чи).Какова высота бамбука после сгибания?
Решение: (10-x)2=x2-9; -20x=9-100, -20x=-109, x=109/20 чи.
Ответ:x= 4,55 чи.
Задача №5.(Старинная русская задача.)
Хошьузнатипромежь какими местами, не ходя и не мерявь что будет промеж вёрст, или сажен, или аршин. И ты сице познавай: как ходил будто к Троице в Сергиев монастырь и тут 32 версты. Ходил же в Воскресенский монастырь, и тут будто 24 версты. Что будет промежь теми монастырями скажи, не мерявь и в какую сторону сколько вёрст? И изделу выйдет столько будет промежь теми местами вёрст или что-нибудь.
Решение:
Хотя в условии задачи не сказано, что треугольник прямоугольный, её решали на основании теоремы Пифагора:
QUOTE = QUOTE =40 вёрст.
Ответ: 40 вёрст.
Задача №6.(Задача в стихах).
ПИРАТ И КВАДРАТ
Четыре отважных английских пирата
Сокровища скрыли в вершинах квадрата.Внутри у которого, как ни смотреть,Стояла совсем одиноко мечеть.
Приметы и сколько шагов от мечетиРешили держать они в строгом секрете.А если троих и не будет в помине,Один побывает на каждой вершине.
Вот годы прошли, был немалым их срок,Вернуться к мечети один только смог.Но старый пират, несмотря на старанья,Смог вспомнить, друзья, только три расстоянья.
А вы посмотрите, найдите ответ:Сумел ли найти он вершины иль нет?
Ответ: да.
Задача №7: (Теорема Пифагора в строительстве и архитектуре)
Окно
В зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны ширине окна (b) для наружных дуг половине ширины, (b/2) для внутренних дуг. Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Т. к. она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра. В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут потребоваться вычисления; покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора.
Решение:
В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b / 2 и r = b / 4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4+p, один катет равен b/4, а другой b/2-p. По теореме Пифагора имеем: (b/4+p)2=( b/4)2+( b/2-p)2; или b2/16+ bp/2+p2=b2/16+b2/4-bp+p2; откуда bp/2=b2/4-bp. Разделив на b и приводя подобные члены, получим: (3/2)p=b/4, p=b/6.
Ответ: p=b/6.
Задача №8:(Строительство крыши)
При строительстве домов и коттеджей часто встает вопрос о длине стропил для крыши, если уже изготовлены балки. Например: в доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м., и AB=BF.    
 Решение:     Треугольник ADC - равнобедренный AB=BC=4 м., BF=4 м. Если предположить, что FD=1,5 м., тогда из треугольника DBC: DB=2,5 м., из треугольника АВF:  АF=√4²+4²=√32≈5,7 м.
Ответ: ≈5,7 м.

Задача №9(Молниеотвод).
Молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.
Решение:по теореме Пифагора h2 ≥ a2+b2, значит h ≥ √(a2+b2).
Ответ: h ≥√ (a2+b2).
Рассмотрим применение теоремы Пифагора в школьном курсе геометрии. Воспользуемся, прежде всего, возможностями, которые даёт теорема Пифагора для вычисления длин отрезков некоторых известных нам фигур:
З а д а ч а №10

Р е ш е н и е:
Δ АВС – прямоугольный с гипотенузой АВ, по теореме Пифагора: АВ2 = АС2 + ВС2,
АВ2 = 82 + 62,
АВ2 = 64 + 36,
АВ2 = 100,
АВ = 10.
О т в е т:АВ = 10
З а м е ч а н и е.
Из курса алгебры известно, что уравнение АВ2 = 100 имеет два корня: АВ = ± 10. АВ = – 10 не удовлетворяет условию задачи, так как длина стороны треугольника всегда положительна. Значит, АВ = 10.
З а д а ч а №11

Р е ш е н и е:
Δ DCE – прямоугольный с гипотенузой DE, по теореме Пифагора: DE2 = DС2 + CE2,
DC2 = DE2 – CE2,
DC2 = 52 – 32,
DC2 = 25 – 9,
DC2 = 16,
DC = 4.
О т в е т:DC = 4
З а д а ч а №12

Р е ш е н и е:
Δ KLM вписан в окружность и опирается на диаметр KM. Так как вписанные углы, опирающиеся на диаметр, – прямые, то угол KLM – прямой. Значит, Δ KLM –
прямоугольный. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника KLM с гипотенузой КМ:
KM2 = KL2 + KM2,
KM2 = 52 + 122,
KM2 = 169,
KM = 13.
О т в е т:KM = 13
З а д а ч а №13
Высота, опущенная из вершиныВΔ АВС, делит сторону АС на отрезки, равные 16 см и 9 см. Найдите сторону ВС, если сторона АВ равна 20 см.

Д а н о:
Δ АВС, BD – высота,
АВ = 20 см, AD = 16 см, DC = 9 см.
Н а й т и: ВС.
Р е ш е н и е:
1) По условию задачи BD – высота, значит, Δ ABD и Δ CBD – прямоугольные.
2) По теореме Пифагора для Δ ABD: АВ2 = AD2 + BD2, отсюда
BD2 = AB2 – AD2,
BD2 = 202 – 162,
BD2 = 400 – 256,
BD2 = 144,
BD = 12.
3) По теореме Пифагора для Δ СBD: ВС2 = ВD2 + DС2, отсюда
BC2 = 122 + 92,
BC2 = 144 + 81,
BC2 = 225,
BC = 15.
О т в е т: сторона BC равна 15 см.
З а м е ч а н и е.
На втором этапе решения достаточно было найти BD2 и подставить его значение в равенство ВС2 = ВD2 + DС2.
Задача №14
Дано:
Из одного порта вышли два корабля: один – на восток, другой – на север.
Расстояние от главного порта до порта на востоке – 300 миль, а до порта на севере – 400 миль. Каково расстояние между двумя портами?
Решение 1:
Угол между курсами кораблей будет составлять 90 , отрезок, соединяющий порты назначения является гипотенузой (х) треугольника, вершинами которого являются порты назначения и главный порт. Следовательно, из условия задачи нам известны длины катетов прямоугольного треугольника.
По теореме Пифагора:
х 2= 300 2+ 4002 = 250000,
х = ,
х = 500.
Ответ: 500 миль от восточного порта до северного.
Решение 2:
Используя понятие египетского треугольника ( стороны которого равны 3,4 и 5) мы можем решить эту задачу, не проводя вычислений, т.е. гипотенуза прямоугольного треугольника равна 500 миль.
Ответ: 500 миль от восточного порта до северного.
Задача №15:
Какую наибольшую высоту должна иметь телевизионная вышка, чтобы передачу можно было осуществить в радиусе R=200 км? ( R Земли =6380 км).
Решение:
Пусть АВ= х, ВС=R=200 км, ОС= r =6380 км, ОВ = OА+АВ,
ОВ = r + х, ВС является касательной к окружности в точке С, значит угол ОСВ = 900 , следовательно треугольник ОСВ прямоугольный, где ОВ - гипотенуза.
Используя теорему Пифагора, получим:
X=√ (r2+R2) - r = - 6380 6383,13 – 6380 3,13 км
Ответ: телевизионная вышка должна иметь высоту не менее чем 3,13 км.
Задача №16:
Дано:Угол КLМ вписан в окружность и опирается на диаметр КМ, КL=5, LМ=12, найти диаметр окружности
Решение:
Так как вписанные углы, опирающиеся на диаметр, - прямые, то угол КLМ - прямой. Значит, треугольник КLМ - прямоугольный.



По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника КLМ с гипотенузой КМ:
КМ2 = КL2 + LМ2= 52 + 122=169,
КМ=√169 = 13.
Ответ: диаметр окружности равен 13


Задача №17: Стороны треугольника a,b,c. Найдите высоту треугольника, опущенную на сторону с.
Решение:1-й случай. Данный треугольник АВС остроугольный (рис. 97).
Обозначим проекцию ВDстороны а на прямую, содержащую сторону с, через х (см. рисунок). Тогда проекция DА стороны bна эту же прямую равна с— х
По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников ВCDи СDА найдем высоту СD:
а)СD2 = ВС2-ВD2(из ∆ВDС);(1)
б)СD2=СА2-АD2(из ∆СDА).(2)Так как в равенствах (1) и (2) левые части равны, то равны и правые, т. е.
ВС2-ВD2 = СА2-АD2.(3)
3. Из равенства (3) получаем:
a2- х2 = b2 - (с-х)2 или х=. (4)
Вернемся к равенству (1), сделаем подстановку значения х из равенства (4), найдем высоту СD:
CD= (5)
2-случай.Данный треугольник АВС тупоугольный (рис. 98).
1.Наклонная а имеет проекцию ВD = х, наклонная bимеетпроекцию АD = с+х.
2,По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников ACDи ВСDнайдем высоту СD:
а)СD2 = АС2-АD2(из ∆ACD);(6)
б)СD2 = ВС2-ВD2(из ∆ВСD).(7)Так как в равенствах (6) и (7) левые части равны, то равны и правые, т. е.
АС2-АD2 = ВС2-ВD2.(8)
Сделаем подстановку данных из условия задачи в равенство (8) и упростим:
b2— (с + х)2 = а2 — х2, или b2 — с2 — 2сх — х2 = а2 — х2,
Откудаx= .
или х = - . (9)
Вернемся к равенству (7), сделаем подстановку значения х из равенства (9) и найдем высоту CD:СD==. (10)
Равенства (5) и (10) имеют одинаковые подкоренные выражения, следовательно, в обоих случаях ответ получается одинаковый.
Ответ: CD=.
Задача №18:Найдите высоту треугольника, стороны которого 13, 14 и 15 м.
Решение:
1. Пусть данным задачи отвечает рисунок 99.
2. Из прямоугольных треугольников АВDи ВDС составим равенства:
х2=b2-у2(из ∆ABD); (1)
x= 142-(15-y)2 ; (из ∆BDС). (2)
Левые части равенств (1) и (2) равны, значит, равны и правые, т. е.
132-у2=142-(15-y)2. (3)
3.Из равенства (3) найдем у:
169-y2=196-225 + 30y-у2;откуда 30у = 198, т. е. у = 6,6.
4.Вернемся к равенству (1), найдем х:
х2 = 132-6,62 = 169-43,56= 125,44,
откуда х = =11,2 м.
Ответ: 11,2 м.
Задача №19: Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием а и боковой стороны k


Рис. 100 Рис. 101
Решение: Решение данной задачи сводится к рассмотрению двух случаев.
1-й случай. ЦентрОокружности лежит на высоте СD(рис. 100).
1.Из условия задачи АС= kи AD= .
2.Находим высоту СD, опущенную на основание АВ. Треугольник АСDпрямоугольный, тогда по теореме Пифагора
СD==.
3.Треугольник АОDпрямоугольный. По теореме Пифагора
A02 = OD2+AD2.(2)
Здесь АО = R,AD=a/2,OD = СD — ОС, но СDнам уже известна из равенства (1).
4.Решим уравнение (2):
а) Сделаем соответствующую подстановку:
. (3)
,
или . (4)
б) Из равенства находим . (5)
2-й случай. ЦентрОокружности лежит на продолжении высоты (рис. 101).
1. Из рисунка видно, что треугольник АОDпрямоугольный, а OD = R - CD. По теореме Пифагора имеем AO2 = OD2+АD2,или
(6)
.
2. Решим уравнение (6):
, (7)
(8)
Найдём R: .
3. Искомый радиус нами определен и для второго случая. Он тот же, что и для первого случая.
Ответ: .

Задача №20:Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием а и боковой стороной к.
Решение: 1. Пусть радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, равен r(рис. 102).
Соединим центрОвписанной окружности с точками касания
D, М, Е, тогда ODАВ, ОМВС, ОЕАС, где ОD = ОЕ = ОМ = r.
Искомый радиус окружности явно входит в прямоугольныйтреугольник ОМВ. Но ни одна из сторон этого треугольника намнеизвестна.
Ключом для решения данной задачи является теорема:«Если из какой-либо точки проведены две касательные к окружности, то отрезки касательных равны, а центр окружности лежитна биссектрисе угла, образованного этими касательными». Следовательно, СЕ = СМ=, ВМ = к—и ОВ = ВЕ — r.
Из треугольника ВЕС найдем высоту ВЕ (по теореме Пифагора):
. Следовательно, .
5. Треугольник ОМВ прямоугольный с прямым углом ОМВ, следовательно, ОВ — гипотенуза. По теореме Пифагора OB2= OM2 + BM2.(1)
Сделав подстановку в равенство (1), получим:
. (2)
Упростив равенство (2), получим: ,
, или . (3)
Найдём r из уравнения (3): .
Ответ: .
мD


Задача№21. В равнобедренной трапеции основания равны 6 и 8, а высота равна 7. Найти:
боковую сторону трапеции;
радиус окружности, описанной около трапеции.
Решение:
Рассмотрим равнобедренную трапецию АВСD, в которой ВС = 6, AD = 8, высота СМ = 7 (рисунок).
ПустьЕи F— середины оснований трапеции, О — центр описанной окружности, R — искомый радиус этой окружности.Тогда ЕF= СМ = 7, ЕС = FМ = 3, FD = 4, МD = 1, ОС = ОD = R.
1)Из треугольника СМDпо теореме Пифагора находим:
СD2 = СМ2+МD2 = 49 + 1 = 50, откуда СД = 5√2.
Боковая сторона трапеции найдена.
2)Пусть ОЕ=х. Тогда ОF=\7-х\.
Применяя теорему Пифагора к треугольникам ОЕС и ОFD, получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными х и R:
9+х2 = R2,16+(7-х)2=R2.
Решая ее, находим х=4, R=5. Итак, радиус R описанной окружности найден.
Ответ: 1) 5 √2; 2) 5.

7.Задачи для самостоятельного решения.
Угол между лестницей эскалатора и полом зала равен 1500. Какова длина лестницы эскалатора, если подошва (основание) лестницы равна 80м?
Под каким углом падает на землю луч солнца, если вертикально воткнутый в землю шест возвышается над землёй на 18м и отбрасывает тень,
равную 6 QUOTE м?
На вершину горы идёт канатная дорога, длиной 2 км., составляющая угол 450 с высотой горы. Чему равна высота горы?
Можно ли из круглого листа железа диаметром 1,4 м вырезать квадрат со стороной 1 м?( нельзя).
Могут ли увидеть друг друга космонавты, летящие над поверхностью Земли на высоте 230 км, если расстояние между ними по прямой равно 2200км? Радиус Земли равен 6370 км. ( могут ).
Между двумя фабричными зданиями устроен покатый желоб для передачи материалов. Расстояние между зданиями равно 10 м, а концы желоба расположены на высоте 8 м и 4 м над землёй. Найдите длину желоба. ( QUOTE м ≈ 10,8 м ).
Участок имеет форму прямоугольника, одна из сторон которого 42 м, а диагональ 62 м. Найдите периметр и площадь этого участка.
Какого наименьшего диаметра нужно взять цилиндрическую заготовку, чтобы изготовить четырёхгранную рейку с длиной ребра 25мм?
Вычислите длины диагоналей граней прямоугольного бруска с размерами 3×5×8 см.
Задача Пифагора.
Найдите три последовательных натуральных числа, которыми могут выражаться длины сторон прямоугольного треугольника.
Задача Архимеда.
Из точки В полуокружности проведён перпендикулярBD к её диаметру АС. На отрезках AD и DC, как на диаметрах, построены полуокружности. Что больше: площадь заштрихованной фигуры, ограниченной тремя полуокружностями, или площадь круга с диаметром BD?
Задача аль- Каши.
Копьё стояло в воде отвесно и высовывалось наружу на 3 локтя. Порыв ветра наклонил его, причём нижний конец копья не изменил положения, а верхний конец оказался на поверхности воды на расстоянии 5 локтей от того места, где раньше копьё высовывалось из воды. Мы хотим узнать длину копья.
Задача о «Золотом сечении» (им пользовались древние зодчие при постройке храмов и других сооружений).
С помощью циркуля и линейки разделите заданный отрезок на такие две части, чтобы квадрат длины большей из них был равен произведению длины всего отрезка и меньшей его части.
Можно ли циркулем и линейкой построить правильную пятиконечную звезду?
Между двумя фабричными зданиями устроен покатый желоб для передачи материалов. Расстояние между зданиями равно 10 м, а концы желоба расположены на высоте 8 м и 4 м над землей. Определить длину желоба.
16.Требуется выфрезеровать квадратную головку со стороной 32 мм. Чему должен быть равен наименьший диаметр круглого железа, годного для этой цели?
Диаметр бревна 12 см. Можно ли из этого бревна вытесать квадратный брус со стороной 10 см?

Стропильная ферма имеет ноги АВ и СВпо 9 м и пролет АС в 15 м. Определить высоту фермы ВD.

Из листа железа требуется выштамповать круглые шайбы диаметром в 28 мм. Найти расстояние между прямыми, на которых следует расположить центры шайб .

Чтобы измерить диаметр большого шкива, устано-вили штангенциркуль так, как показано на рисунке 31. Дли-на ножек штангенциркуля s=25 мм, расстояние между кон-чами ножек l=200 мм:
8. ДИДАКТИЧЕСКИ Й МАТЕРИАЛ
1. Стороны прямоугольника равны 60 и 91 м. Чему равна его диагональ? [109 м.]
2. Сторона квадрата равна а. Чему равна его диагональ?[а√2.]
3.Стороны прямоугольника равны а и k.. Найдите радиус окружности, описанной около этого прямоугольника. [0,5 ]
4.Катеты прямоугольного треугольника равны 8 дм и 18 см. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. [41см.]
5. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 17 м, а основание 16 м. Найдите высоту. [15 м.]
6. В равностороннем треугольнике найдите высоту по даннойстороне а.
7. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30°, а больший катет равен 6 м. Найдите две другие стороны этого треугольника.
[2 √3м и 4 √3 м.]
Диагонали ромба равны 24 и 70 м. Найдите его сторону. [37 м.]
В равнобедренной трапеции основания равны 10 и 24 м, боковая сторона 25 м. Найдите высоту трапеции.
[24 м]
К окружности радиуса 36 м проведена касательная из точки, удаленной: от центра на 85 м. Найдите отрезок касательной от данной точки до точки касания. [77 м.]
Найдите острые углы прямоугольного треугольника, зная, что они относятся как 1: 2. [30° и 60°.]
. Вычислите периметр прямоугольного треугольника, если его катеты равны 5 и12 м. [30 м.]
13. Вычислите периметр прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 10 м, а один угол равен 30°. [5(3+√3) м.]
14. Вычислите периметр равнобедренного прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 20 м. [20(1+\/2) м.]
Б. 1. Требуется выточить квадратную головку со стороной 32 мм. Чему должен быть равен диаметр цилиндрической заготовки? [Примерно 45 мм;]
2.Найдите сторону квадрата, если она меньше диагонали на 2 м. [2 √2+1) м.]
Диаметр бревна 12? см. Можно ли из этого бревна вытесать квадратный брус со стороной 10 см? [Нет]
В круг вписан прямоугольник, стороны которого относятся как 8:15. Найдите эти стороны, если радиус круга равен 34 м. [32 м и 60 м.]
Катеты прямоугольного треугольника равны 1,6 и 12 м. Найдите медиану, проведенную к гипотенузе. [10 м.]
Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его высота равна 35 м, а основание относится к боковой стороне как 48:25. [125 м, 125 м и 240 м.]
В равностороннем треугольнике определите сторону по: данной высоте h.
8. Из общей точки проведены к окружности две касательные. Радиус окружности равен 11 м, а сумма отрезков касательных равна 120 м. Найдите расстояние от центра до общей точки касательных. [61 м.]
9. В равнобедренном треугольнике основание равно 30 м, а высота 20 м. Найдите высоту, опущенную на боковую сторону.[24 м.]
10. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, равна 3 м, а высота, опущенная на боковую сторону, равна 4 м.Найдите стороны этого треугольника. [2,4 м. и 1.8 м.]
B. 1.Круг радиуса с окружен четырьмя равными кругами, касающимися данного и попарно друг друга. Вычислите радиус одного из этих кругов.[с(1 +\/2).]
2.В прямоугольном треугольнике дан катет а и радиус rвписанной в него окружности. Найдите гипотенузу и второй катет. []
В равносторонний треугольник вписаны три равных круга так, что каждый касается двух сторон треугольника и двух других кругов. Найдите радиус каждого из этих кругов, если сторона треугольника равна а. [0,25а(\/3—1).]
К двум окружностям радиусов R и r, находящихся в положении внешнего касания, проведены их общие касательные — внутренняя и две внешние. Определите длину отрезка внутренней касательной, заключенного между внешними касательными. [].
Центр круга, вписанного в прямоугольную трапецию, отстоит от концов боковой стороны на 2 м и на 4 м. Найдите радиус круга и большую боковую сторону трапеции.[и].
Дан угол 60° с вершиной в точке О. В плоскости этого угла взята точка А, лежащая внутри угла и отстоящая от его сторон на расстоянии 1 и 2 м. Найдите расстояние ОА..
7. Две окружности с радиусами 3 и 1 мкасаются извне в точке А. К окружностям проведена общая касательная. Найдите отрезок касательной, заключенный между точками касания. [2 √3 м.]
Окружность касается двух смежных сторон квадрата и делит каждую из двух других его сторон на отрезки, равные 2 и 23 м. Найдите радиус окружности. [17 м.]
В пересечение двух равных кругов вписан ромб с диагоналями 12 и 6 см. Найдите радиус каждого круга. [7,5 см.]
К окружности радиуса R проведены 4 касательные, образующие ромб, большая диагональ которого равна 4R?. Найдите углы, вторую диагональ и сторону ромба. [600 и 120°, и ].
11.Окружность радиусом 13 см касается двух смежных сторон квадрата со стороной 18 см. На какие два отрезка делит окружность каждую из двух других сторон квадрата? [1 см и 17 см.]
Задачи открытого банка данных для ЕГЭ
В треугольнике ABC , угол C равен . Радиус описанной окружности этого треугольника равен 5. Найдите AC.

Найдите периметр четырехугольника ABCD, если стороны квадратных клеток равны .

Найдите высоту треугольника ABC, опущенную на сторону BC, если стороны квадратных клеток равны .

Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если стороны квадратных клеток равны 1.

В треугольнике ABC , угол C равен , . Найдите AB.

В треугольнике ABC . Найдите высоту CH.

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26. Один из его катетов равен 10. Найдите другой катет.

Периметр прямоугольника равен 28, а диагональ равна 10. Найдите площадь этого прямоугольника.

Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь равна 40. Найдите боковую сторону трапеции. 

В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 2. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8, и боковым ребром, равным 10.

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.

Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный на .

Объем правильной шестиугольной пирамиды 6. Сторона основания равна 1. Найдите боковое ребро.

10.Литература:
М.В. Величко «Математика 9-11», проектная деятельность учащихся, Волгоград, Учитель, 2008.
Г.Б. Полтавская «Математика 5-11», проблемно-развивающие задания, Волгоград, Учитель, 2010.
Г.И. Глейзер «История математики в школе VII – VIII классы», пособие для учителей, - М. Просвещение 1982г.
А.В. Волошинов «Пифагор» М. 1993.
В.Г. Болтянский, Г.Д. Глейзер «Геометрия 7-9», углублённый курс развивающего математического образования. М. «Пайдейя», 1998.
А.П. Киселёв, Н.А. Рыбкин «Геометрия: планиметрия: 7-9 кл.» , М. Дрофа, 1995.
А.В. Погорелов, «Геометрия 7-11», М. Просвящение, 1995.
В.С. Крамор «Повторяем и систематезируем школьный курс геометрии». М. Просвящение, 1992.
Журнал «Математика в школе» 2/2012.
Газета «Математика» 17/1996.
Газета «Математика» 3/1997.
А. И. Щетников « Пифагорейское учение о числе и величине». Новосибирск, 1997.

Приложенные файлы


Добавить комментарий