Основы логики














Методическая разработка темы:
«Методика преподавания раздела "Основы логики" в профильных курсах информатики»

Содержание:
13 TOC \o "1-3" \h \z 1413 LINK \l "_Toc182195550" 14Введение 13 PAGEREF _Toc182195550 \h 1431515
13 LINK \l "_Toc182195551" 14Анализ программ 13 PAGEREF _Toc182195551 \h 1451515
13 LINK \l "_Toc182195556" 14Уроки 13 PAGEREF _Toc182195556 \h 1491515
13 LINK \l "_Toc182195557" 14Урок 1 13 PAGEREF _Toc182195557 \h 1491515
13 LINK \l "_Toc182195558" 14Урок 2 13 PAGEREF _Toc182195558 \h 14131515
13 LINK \l "_Toc182195559" 14Урок 3 13 PAGEREF _Toc182195559 \h 14161515
13 LINK \l "_Toc182195560" 14Урок 4 13 PAGEREF _Toc182195560 \h 14191515
13 LINK \l "_Toc182195561" 14Урок 5 13 PAGEREF _Toc182195561 \h 14221515
13 LINK \l "_Toc182195562" 14Урок 6 13 PAGEREF _Toc182195562 \h 14241515
13 LINK \l "_Toc182195563" 14Урок 7 13 PAGEREF _Toc182195563 \h 14271515
13 LINK \l "_Toc182195564" 14Урок 8 13 PAGEREF _Toc182195564 \h 14291515
13 LINK \l "_Toc182195565" 14Урок 9 13 PAGEREF _Toc182195565 \h 14341515
13 LINK \l "_Toc182195566" 14Урок 10 13 PAGEREF _Toc182195566 \h 14401515
13 LINK \l "_Toc182195567" 14Урок 11 13 PAGEREF _Toc182195567 \h 14471515
13 LINK \l "_Toc182195568" 14Урок 12 13 PAGEREF _Toc182195568 \h 14521515
13 LINK \l "_Toc182195569" 14Основоположники логики 13 PAGEREF _Toc182195569 \h 14531515
13 LINK \l "_Toc182195570" 14Используемые ресурсы: 13 PAGEREF _Toc182195570 \h 14591515
15 Употребляйте с пользой время.
Учиться надо по системе.
Сперва хочу вам в долг вменить
На курсы логики ходить.
Ваш ум, не тронутый доныне,
На них приучат к дисциплине,
Чтоб взял он направленья ось,
Не разбредаясь вкривь и вкось.
Что вы привыкли делать дома
Единым махом наугад,
Как люди пьют или едят,
Вам расчленят на три приема
И на субъект и предикат.
В мозгах как и в мануфактуре,
Есть ниточки и узелки.
Посылка не по той фигуре
Грозит запутать челноки.
(Гете "Фауст")
Введение
«Основы логики», один из сложных разделов школьного курса предмета информатика и ИКТ. Материал этого раздела несет в себе большую методическую и познавательную нагрузку и ориентирован в первую очередь на учащихся классов с углубленным изучением математики и информатики.
Представленный ресурс является методическим пособием для учителей информатики и математики. Материал подобран таким образом, чтобы у учащихся сформировалось представление о логических схемах электронных устройств, входящих в состав компьютера. Ставилась цель устранить разрыв в существующих курсах между логическими понятиями и архитектурой компьютера. Данный ресурс может помочь учителям информатики при подготовке и проведении занятий. Ресурс может быть полезен и учителям математики, т. к. основной материал раздела изучается и при углубленном изучении математики.
О важности этого раздела говорит тот факт, что при сдаче ЕГЭ по информатике число заданий по нему в КИМ 2006 года - 5, что составляет 12,5% от максимального первичного балла за всю работу. Однако и в других разделах есть вопросы, связанные с разделом "Основы логики". Например, вопросы на определение результатов фильтрации данных по заданным критериям в разделах "Технология хранения, поиска и сортировки информации в базах данных" и "Телекоммуникационные технологии", составление логических выражений в разделе "Алгоритмизация и программирование".
Представленные на сайте разработки уроков апробированы на уроках информатики в классах с углубленным изучением математики. В уроках рассмотрены основные способы решения логических задач, алгоритмы построения таблиц истинности и получения совершенных дизъюнктивных нормальных форм по таблицам истинности, разобрано построение функциональных схем для основных логических элементов ЭВМ, приведены варианты контрольных работ
Цель данного курса - научить учащихся:
выделять существенные высказывания в тексте задачи;
формализовать эти высказывания;
представить условия и решение задачи в различных видах (таблицы, формулы, графы, схемы);
решать одну и ту же задачу несколькими методами и уметь оценивать эти методы;
преобразовывать логические выражения к совершенным дизъюнктивным нормальным формам для обоснования существования устройств, являющихся основой ВТ;
строить логическую схему заданного устройства.
Человек, не владеющий логикой, не сможет грамотно пользоваться никакими знаниями. Можно сказать, что логика является базой для применения любого знания.
Электронная версия этой методической разработки опубликована на сайте АППО в разделе «Из опыта работы». Анализ программ
Федеральный компонент государственного стандарта общего образования, разработанный в соответствии с Законом Российской Федерации «Об образовании» (ст. 7) и Концепцией модернизации российского образования на период до 2010 года, утвержденной распоряжением Правительства Российской Федерации № 1756-р от 29 декабря 2001 г.; одобренный решением коллегии Минобразования России и Президиума Российской академии образования от 23 декабря 2003 г. № 21/12; утвержденный приказом Минобразования России «Об утверждении федерального компонента государственных стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования» от 5 марта 2004 г. № 1089 - является основным документом при разработке программ по предметам. Требования настоящего стандарта к уровню подготовки выпускников являются основой разработки контрольно-измерительных материалов при аттестации учащихся.
Представление раздела "Логика" в стандартах основного общего образования и стандартах среднего (полного)  общего образования
СТАНДАРТ ОСНОВНОГО  ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ И ИКТ
СТАНДАРТ СРЕДНЕГО (ПОЛНОГО) ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ И ИКТ

Базовый уровень
Базовый уровень
Профильный уровень (обязательный минимум)

В разделе "Обработка информации" есть тема "Логические значения, операции, выражения.".
Нет
Логика и алгоритмы. Высказывания, логические операции, кванторы, истинность высказывания.
 
Знать/понимать
 - логическую символику;
 - вычислять логическое значение сложного высказывания по известным значениям элементарных высказываний;
 

В стандарте основного общего образования раздел "Основы логики" представлен лишь темой "Логические значения, операции, выражения".
 В стандарте среднего (полного) общего образования учебные предметы федерального компонента представлены на двух уровнях – базовом и профильном. Оба уровня стандарта имеют общеобразовательный характер, однако они ориентированы на приоритетное решение разных комплексов задач.
Базовый уровень стандарта учебного предмета ориентирован на формирование общей культуры и в большей степени связан с мировоззренческими, воспитательными и развивающими задачами общего образования, задачами социализации.
Профильный уровень стандарта учебного предмета выбирается исходя из личных склонностей, потребностей учащегося и ориентирован на его подготовку к последующему профессиональному образованию или профессиональной деятельности.
В одной из рекомендованных программ профильного уровня предлагается отвести для изучения темы "Язык логики" 4 часа
№ урока
Теория
Практика
Литература

1
Логический язык (4 час)
Имена, логические операции, кванторы, правила построения и семантика.
Математический редактор
Квалифицированное оформление специализированных документов.
Каймин В.А. и др. Основы информатики и вычислительной техники. Глава 1.
Коляда М.Г. Окно в удивительный мир информатики. Глава 6.
Информатика. Базовый курс / Симонович С.В. и др. Глава 2, 3, 4.
Логика: Учеб. пособие для образоват. учеб. заведений, шк. и классов с углубл. изуч. логики, лицеев и гимназий. Глава 1, 3, 4.
Гетманова А.Д. Учебник по логике. 2-е изд. – М.: «ВЛАДОС», 1995. Глава 1, 3, 4.

2
Примеры записи утверждений на логическом языке.



3
Примеры записи утверждений на логическом языке.



4
Логические функции. Схемы из функциональных элементов.



В программе Н.Д. Угриновича на изучение раздела "Основы логики" отводится 18 часов
Основы логики  - 18 часов
Всего
Теория
Практика

Формы мышления.
1
1
-

Алгебра высказываний.
3
1
2

Логические выражения и таблицы истинности.
3
1
2

Практическая работа № 29. Построение таблиц истинности логических функций и выражений (в том числе с использованием электронных таблиц).
1
-
1

Логические функции.
2
1
1

Логические законы и правила преобразования логических выражений.
3
1
2

Практическая работа № 30. Преобразование логических выражений с использованием логических законов и правил преобразования (в том числе с использованием инженерных калькуляторов).
1
-
1

Логические основы устройства компьютера. Базовые логические элементы. Сумматор двоичных чисел. Триггер.
2
1
1

Практическая работа № 31. Построение логических схем основных устройств компьютера (сумматор, триггер).
1
-
1

Контрольная работа №4. Основы логики  (тестирование, зачетная практическая работа, защита проекта). 
1
-
1

Итого
18
6
12

Кодификатор,составленный на базе обязательного минимума содержания среднего (полного) и основного общего образования (приложения к Приказам Минобразования РФ №1236 от 19.05.98  и № 56 от 30.06.99) содержит следующие темы раздела "Основы Логики":
1.3
 
Основы логики

 
1.3.1
Алгебра логики.

 
1.3.2
Логические выражения и их преобразование.

 
1.3.3
Построение таблиц истинности логических выражений.

Выполнение работы ЕГЭ по информатике требовало от учащихся следующих знаний и умений по разделу "Основы логики":
вычисление результата сложного логического выражения, представленного с определенными и неопределенными высказываниями, в т. ч. показанными в виде схем и таблиц;
определение составного логического выражения по фрагменту таблицы истинности;
решение логических задач.
Число заданий по разделу "Основы логики" в КИМ 2006 года - 5, что составляет 12,5% от максимального первичного балла за всю работу. Однако, и в других разделах есть вопросы связанные с разделом "Основы логики". Например, вопросы на определение результатов фильтрации данных по заданным критериям в разделах "Технология хранения, поиска и сортировки информации в базах данных" и "Телекоммуникационные технологии", составление логических выражений в разделе "Алгоритмизация и программирование".
Исходя из реальных требований к знаниям и умениям учащихся предлагается следующая поурочная разработка раздела "Основы логики", ориентированная на программу и УМК Н. .Д.  Угриновича: и рассчитанную на 12 часов. Уроки
Урок 1
Тема. Формы мышления
Цель урока. Познакомить учащихся с основными формами, в которых осуществляется мышление.
Ход урока
I. Объяснение нового материала
Логика – это наука о формах и законах человеческого  мышления. Она является одной  из древнейших наук.
 В зависимости от набора правил вывода умозаключений, которые признаются правомерными, различается несколько вариантов логики как научной дисциплины: формальная логика, математическая логика, вероятностная логика, диалектическая логика и т. д.
Основы формальной логики заложил древнегреческий философ Аристотель.
Математическая логика является одной из частей формальной логики и изучает только рассуждения со строго определенными объектами и суждениями, для которых возможно однозначно решить истинны они или ложны.
Основоположником математической логики считают немецкого математика и философа Вильгельма Лейбница.
 
Логика рассматривает три различные формы, в которых осуществляется мышление: понятие, суждение и умозаключение.
 Понятие выделяет существенные признаки объекта, которые отличают его от других объектов. Объекты, объединенные понятием , образуют некоторое множество.
Например, понятия "компьютер", "автомобиль", "этот вписанный угол, опирающийся на диаметр", и. т. д.
Суждением (высказыванием) называется всякое утверждение (или всякое предложение), о котором можно судить истинно оно или ложно.
Например, "язык Паскаль - структурный язык", "5<6", "7>10" и т. д.
Иногда трудно установить истинность высказывания. Так, например, высказывание "площадь поверхности Индийского океана равна 75 млн кв. км" в одной ситуации можно посчитать ложным, а в другой - истинным. Ложным - так как указанное значение неточное и вообще не является постоянным. Истинным - если рассматривать его как некоторое приближение, приемлемое на практике.
Предложения вопросительные, восклицательные и повелительного наклонения суждениями не являются. Высказываниями не являются, например, предложения "ученик десятого класса" и "информатика - интересный предмет". Первое предложение ничего не утверждает об ученике, а второе использует слишком неопределенное понятие "интересный предмет".
Суждениями не будут и утверждения вида:"5+X=15",  "Z + Y<3",  "Число X кратно 2" и др. Ведь мы не знаем, чему равны значения X, Y, Z , поэтому не можем знать, являются ли эти выражения достоверными или нет, а следовательно, они не могут быть суждениями.
Такие выражения о переменных (объектах) называют предикатами.
Предикаты становятся суждениями, если переменной (или переменным -если их несколько) придать некоторое числовое значение (из области допустимых значений) или применить логическую операцию, которая устанавливает область истинности (ее называют квантор)
Кванторы операции математической логики, применяемые к логическим выражениям и дающие характеристику области предметов (или области предикатов), к которой относится данное логическое выражение. Наиболее употребительны кванторы. общности и кванторы  существования.
Выражение "для всех Х" ("для любого Х") называется КВАНТОРОМ ВСЕОБЩНОСТИ и обозначается символом:
·Х.. 
Выражение "существует Х такое, что..."  или "для некоторых X" называется КВАНТОРОМ СУЩЕСТВОВАНИЯ и обозначается символом:
·Х. 
Выражение "существует точно одно Х такое, что..." называется КВАНТОРОМ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ и обозначается символом:
·! Х.
Например, высказывание (суждение) "Ты любишь потому, что ты любишь. Не существует причин, чтобы любить." (Экзюпери) можно записать в виде:
А  => А   
·
·В.
где A - "ты любишь", В - "причины любви".
 
Суждения подразделяются на общие и частные.
Частные суждения выражают конкретные (частные) факты ("5-4>0", "Луна - спутник Земли" и т. д.).  Частное суждение отражает некую совокупность предметов, процессов, явлений, но не всю. Это подчеркивается квантором: «Некоторые крупные города России являются областными центрами».
Общие суждения характеризуют свойства групп объектов или явлений ("В любом прямоугольном треугольнике есть угол 90°", "х2>0").. Общие суждения – суждения обо всех предметах определенного вида с квантором «все» (ни один, каждый, всякий) перед субъектом: «Все S есть Р». Например, «Каждый студент имеет зачетную книжку»..
В алгебре высказываний суждениям (простым высказываниям) ставятся в соответствие логические переменные, обозначаемые прописными буквами латинского алфавита.
Например: А = "три умножить три равно десять"
                    В = "три умножить на три равно девять"
Истинному высказыванию соответствует значение логической переменной 1, а ложному - значение 0. В нашем случае высказывание А=0, В=1.
Различают высказывания простые и сложные.
Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не", "и", "или", "если-то", "тогда и только тогда" и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.
Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются сложными (составными). Высказывания не являющиеся составными называются простыми (элементарными).
Например, "если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны"; "завтра мы пойдем на рыбалку или поедем на дачу".
Умозаключение -это форма мышления с помощью которой из одного или нескольких суждений (посылок) может быть получено новое суждение (заключение).
Например, "все металлы электропроводны", "ртуть является металлом". Путем умозаключения делается вывод, что "ртуть электропроводна".
Существуют определенные приемы вывода умозаключений, которые облегчают поиск правильных рассуждений, доказательств или способов решения задач.
Наиболее ценные из них - это аналогия, индукция и дедукция.
Умозаключение по аналогии - это знание, полученное из рассмотрения какого-либо объекта, переносимое на менее изученный, сходный по существенным свойствам и качествам объект.
"Аналогия" -греческое слово, в переводе означающее "сходство".
Например, из суждения: "Солнечная система -это планеты, вращающиеся по орбитам, в центре которых находится Солнце",  получаем умозаключение по аналогии: "Атом - это электроны, вращающиеся по орбитам, в центре которых находится ядро".
Но подмеченная аналогия не всегда может служить доказательством! Суждения сформулированные по аналогии с истинными, могут оказаться ложными.
Например, по аналогии с истинными суждениями: "Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3"; "Если сумма чисел делится на 9, то и само число делится на 9" - можно сформулировать и суждение: "Если сумма цифр делится на 27, то и само число делится на 27". Но это суждение явно ошибочно. Чтобы убедиться в этом, рассмотрите число 2799 - сумма его цифр делится на 27, а само число на 27 не делится.
Индукция - это правило вывода умозаключений при переходе от частных суждений к общим.
Дедукция - это правило вывода умозаключений при переходе от общих суждений к частным.
II. Закрепление материала
1. Какие из следующих предложений являются суждениями (высказываниями) и каково значение их  истинности, если это суждение:
"55>66"
"x+5=50"
"сижу и смотрю"
"6 четное число"
"Рим столица Франции
"сумма внутренних углов треугольника равна 1800"
"войдите, пожалуйста"
"верно ли, что p=2,14159...?"
2. Укажите какие из суждений являются частными, а какие общими:
(x+y)*(x-y)=x2+y2"
3+5=8
"квадрат любого четного числа делится на 4".
3. Из сложных суждений выделите простые и обозначьте их буквами:
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам друго, то такие треугольники равны.
"Спартак" выиграл встречу у "Динамо", а встречи с "Зенитом" и "Таврией" закончились вничью.
4. Дано суждение:"Каждый равносторонний треугольник является также равноугольным". Сформулируйте аналогичное суждение для шестиугольника.
5. Запишите следующие высказывания Козьмы Пруткова схематически с помощью операции "навешивания кванторов":
Иной певец подчас хрипнет.
Не всякому человеку даже гусарский мундир к лицу.
В глубине всякой груди есть своя змея.
III. Домашнее задание
§ 3.1 учебника;
конспект;
уметь приводить примеры. Урок 2
Тема.  Алгебра высказываний. Основные логические операции и их таблицы истинности.
Цель урока. Познакомить учащихся с основными логическими операциями.
Ход урока
I. Фронтальный опрос
1. Какие существуют основные формы мышления:
2. Что мы называем понятием, суждением, умозаключением? Приведите примеры.
3. Как обозначают значение истинности и ложности суждений (высказывания)?
4. Какие суждения являются общими? Приведите примеры частных и общих суждений.
5. Какие приемы вывода умозаключений вы знаете?
6. Что такое простое и сложное суждения? Приведите пример, как из простых суждений образовать сложное.
7. Что такое квантор? Какие кванторы вы знаете? Их обозначения?
II. Объяснение нового материала
Алгебра высказываний была разработана для того, чтобы можно было определять истинность или ложность составных высказываний, не вникая в их содержание.
Для образования новых высказываний наиболее часто используют логические операции, выражаемые с помощью логических связок "И", "ИЛИ", "НЕ",.
Логические операции определяются через таблицы истинности, в левой части которой выписаны все возможные наборы значений аргументов х1,...,хn, а правая часть представляет собой столбец значений функции, соответствующих этим наборам.
НЕ Операция, выражаемая словом "не", называется отрицанием (инверсией) и обозначается чертой над высказыванием (или знаком ¬). Высказывание
· истинно, когда А ложно, и ложно, когда А истинно.
Пример. "Луна - спутник Земли" (А); "Луна - не спутник Земли" (
·).
А

·

0
1

1
0

 
И Операция, выражаемая связкой "и", называется конъюнкцией (лат. conjunctio - соединение) или логическим умножением и обозначается точкой "·" (может также обозначаться знаками
· или &).
 Высказывание А·В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны.
Например, высказывание "10 делится на 2 и 5 больше 3" истинно, а высказывания "10 делится на 2 и 5 не больше 3", "10 не делится на 2 и 5 больше 3", "10 не делится на 2 и 5 не больше 3" - ложны.
А
В
А&В

0
0
0

0
1
0

1
0
0

1
1
1

ИЛИ Операция, выражаемая связкой "или" (в не исключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjuncito - разделение) или логическим сложением и обозначается знаком  v (или +).
 Высказывание АvВ ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны.
Например, высказывание "10 не делится на 2 или 5 не больше 3" ложно, а высказывания "10 делится на 2 или 5 больше 3", "10 делится на 2 или 5 не больше 3", "10 не делится на 2 или 5 больше 3" - истинны.
А
В
А+В

0
0
0

0
1
1

1
0
1

1
1
1

III. Закрепление материала
1. Предложить учащимся самостоятельно заполнить таблицу:
Формула
Высказывание
Тигр
Волк
Бурундук
Заяц

А
Зверь полосатый
 
 
 
 

В
Зверь хищный
 
 
 
 

¬А
 
 
 
 
 

¬В
 
 
 
 
 

А·В
 
 
 
 
 

А+В
 
 
 
 
 

Ответ:
Формула
Высказывание
Тигр
Волк
Бурундук
Заяц

А
Зверь полосатый
1
0
1
0

В
Зверь хищный
1
1
0
0

¬А
Зверь не полосатый
0
1
0
1

¬В
Зверь не хищный
0
0
1
1

А·В
Зверь полосатый и хищный
1
0
0
0

А+В
Зверь полосатый или хищный
1
1
1
0

2. Выделите в сложных суждениях простые и обозначьте их буквами. Представьте эти сложные суждения в виде формул:
После школы я поступлю на экономический, или на юридический, или на факультет иностранных языков. (Ответ: Y=А+В+С)
Утром мы пойдем на рыбалку, позагораем, но уху варить не будем. (Ответ: Y=A*B*¬C)
3. Сложные суждения составляются из следующих простых:
А = "Доктор Уотсон - отставной офицер";
В = "Доктор Уотсон - друг знаменитого сыщика";
С = "Доктор Уотсон окончил Лондонский университет".
Прочтите формулы следующих сложных суждений, используя смысл каждого из простых суждений:
A + B & C
B * C ·¬A
C ·¬A + ¬B
IV. Домашнее задание
.§3.2;
 конспект;
составить 2 составных высказывания, содержащие операции логического сложения, умножения и отрицания. Определить их истинность. Урок 3
Тема. Построение таблиц истинности для сложных логических выражений.
Цель урока. Выработать навыки доказательства логических выражений методом составления таблиц истинности.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания
Тест (один из вариантов)
Вопрос
Варианты ответов

1. Основоположником логики является:
a) Джордж Буль;
b) Аристотель;
c) Лейбниц;
d) Шеннон.

2. Предложение: "Солнце - спутник Земли"
a) Высказывание, ложное;
b) Высказывание, истинное;
c) Не высказывание.

3. Предложение: "Кто отсутствует?"
a) Высказывание, ложное;
b) Высказывание, истинное;
c) Не высказывание.

4. Предложение: "Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей, то он прямоугольный"
a) Высказывание, ложное;
b) Высказывание, истинное;
c) Не высказывание.

5. Предложение: "Х2
·0"
a) Высказывание, истинное, частное;
b) Высказывание, истинное, общее;
c) Высказывание, ложное, частное;
d) Высказывание, ложное, общее;
e) Не высказывание.

6. Какой логической операции соответствует данная таблица истинности
13 SHAPE 1415
a) Конъюнкции;
b) Дизъюнкции;
c) Отрицания;

7. Какой логической операции соответствует данная таблица истинности
13 SHAPE 1415
a) Конъюнкции;
b) Дизъюнкции;
c) Отрицания;

8. Определить истинность составного высказывания: "(2·2=4 или 3·3=10) и (2·2=5 или 3·3=9)"
a) Ложно;
b) Истинно;
c) Не высказывание.

9. Квантор всеобщности имеет обозначение
a) "Х
b) $Х
c) $! Х.

10. Какое значение будет иметь логическая функция
Z = X1& X2 + X3, при
X1=0
X2=1
X3=0
a) 1;
b) 0.

II. Объяснение нового материала
Для каждого составного высказывания (логического выражения) можно построить таблицу истинности, которая определяет его истинность или ложность при всех возможных комбинациях исходных значений простых высказываний.
При построении таблиц истинности надо руководствоваться определенной последовательностью действий:
Алгоритм построения таблицы истинности:
подсчитать количество переменных n в логическом выражении;
определить число строк в таблице, которое равно m = 2n;
подсчитать количество операций в логическом выражении и определить количество столбцов в таблице, которое равно количеству переменных плюс количество операций;
ввести названия столбцов таблицы в соответствии с последовательностью выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;
заполнить столбцы входных переменных наборами значений;
провести заполнение таблицы значениями (0 и 1) истинности по столбцам, выполняя логические операции.
Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания ("не"), затем конъюнкция ("и"), после конъюнкции - дизъюнкция ("или").
Например: Построить таблицы истинности для логических выражений
a) Z = (A + B · C) + (¬A · C)
А
В
С
В · С
А + В · С
¬А
¬А · С
(А + В · С) + (¬А · С)

0
0
0
0
0
1
0
0

0
0
1
0
0
1
1
1

0
1
0
0
0
1
0
0

0
1
1
1
1
1
1
1

1
0
0
0
1
0
0
1

1
0
1
0
1
0
0
1

1
1
0
0
1
0
0
1

1
1
1
1
1
0
0
1

b) F = (A + B)&(¬A + ¬B)
A
B
A + B
¬A
¬B
¬A + ¬B
(A + B) · (¬A + ¬B)

0
0
0
1
1
1
0

0
1
1
1
0
1
1

1
0
1
0
1
1
1

1
1
1
0
0
0
0

III. Закрепление материала
Построить таблицы истинности для логических выражений:
a) C& ¬A + ¬B
b) C + A&B
c) ¬(A & ¬B)&(¬A + (A + B))
IV. Домашнее задание
§3.3;
конспект.
задание 3.2 и 3.3 (письменно) Урок 4
Тема. Логические функции
Цель урока. Познакомить учащихся с основными логическими функциями.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания
II. Объяснение нового материала
Существует 16 различных логических функций двух аргументов, каждая из которых задается своей таблицей истинности:
Аргу- менты
Логические функции

A
B
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F9
F10
F11
F12
F13
F14
F15
F16

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1

0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1

1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1

1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1

Из таблицы видно, что: F2 -логическое умножение; F8 - логическое сложение; F13 -логическое отрицание для аргумента A; F11 - логическое отрицание для аргумента B/
Кроме базовых логических связок используются и  другие, некоторые из них имеют свои названия:.
ЕСЛИ-ТО (функция F14) Операция, выражаемая связками "если...то", "из...следует", "...влечет...", называется импликацией (лат. implico -тесно связаны) или логическим следованием и обозначается знаком (или =>).
 Высказывание АВ ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.
Покажем на примере, как импликация связывает два элементарных высказывания : "данный четырехугольник - квадрат" (А) и "около данного четырехугольника можно описать окружность" (В). Рассмотрим составное высказывание АВ, понимаемое как "если данный четырехугольник квадрат, то около него можно описать окружность". Есть три варианта, когда высказывание АВ истинно: 1. А истинно и В истинно, то есть данный четырехугольник квадрат, и около него можно описать окружность; 2. А ложно и В истинно, то есть данный четырехугольник не является квадратом, но около него можно описать окружность (разумеется, это справедливо не для всякого четырехугольника); 3. А ложно и В ложно, то есть данный четырехугольник не является квадратом, и около него нельзя описать окружность. Ложен только один вариант, когда А истинно, а В ложно, то есть данный четырехугольник является квадратом, но около него нельзя описать окружность.
В обычной речи связка "если...то" описывает причинно-следственную связь между высказываниями. Но логических операциях смысл высказываний не учитывается. Рассматривается только их истинность и ложность. Поэтому не надо смущаться "бессмысленностью" импликаций, образованных высказываниями, совершенно не связанными по содержанию. Например, такими: "если президент США - демократ, то в Африке водятся жирафы"
А
В
АВ

0
0
1

0
1
1

1
0
0

1
1
1

ЭКВИВАЛЕНЦИЯ (функция F10) Операция, выражаемая связками "тогда и только тогда", "необходимо и достаточно", "...равносильно...", называется эквиваленцией или логическим равенством и обозначается знаком (может также обозначаться знаками ~ или
·).
 Высказывание АВ истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают.
А
В
А
·В

0
0
1

0
1
0

1
0
0

1
1
1

III. Закрепление материала
1. Выделите в сложных суждениях простые и обозначьте их буквами. Представьте эти сложные суждения в виде формул:
    1) Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3.
(Ответ: Х=А
·(В·С))
    2)  Если завтра не будет дождя, то мы пойдем купаться на речку или пойдем собирать грибы в лес.
(Ответ: Z=
·(В+С))
2.  Какой логической формуле соответствует следующее составное высказывание: "Для того чтобы параллелограмм был квадратом, необходимо и достаточно, чтобы он был ромбом и имел прямой угол или был прямоугольником и имел равные смежные стороны".
a) M
· (Y · X) + (K · L));
b) M
· (Y + X) + (K + L));
c) M
· (Y · X) · (K · L));
3. С помощью электронных таблиц построить таблицу истинности для всех возможных логических функций двух переменных.
IV. Домашнее задание
§3.4;
конспект.
задание 3.4 (письменно) Урок 5
Тема. Построение таблиц истинности логических функций и выражений.
Цель урока. Выработать навыки построения таблиц истинности для логических функций и выражений.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания
II. Объяснение нового материала
Вспомним алгоритм построения таблиц истинности:
Алгоритм построения таблицы истинности:
подсчитать количество переменных n в логическом выражении;
определить число строк в таблице, которое равно m = 2n;
подсчитать количество операций в логическом выражении и определить количество столбцов в таблице, которое равно количеству переменных плюс количество операций;
ввести названия столбцов таблицы в соответствии с последовательностью выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;
заполнить столбцы входных переменных наборами значений;
провести заполнение таблицы значениями (0 и 1) истинности по столбцам, выполняя логические операции.
Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания ("не"), затем конъюнкция ("и"), после конъюнкции - дизъюнкция ("или") и в последнюю очередь импликация и эквиваленция.
Например, построим таблицу истинности для логического выражения
Y=¬(A(BC))~(A&B&¬C)
A
B
C
BC
A(BC)
¬(A(BC))
¬C
A&B
A&B&¬C
Y

0
0
0
1
1
0
1
0
0
1

0
0
1
1
1
0
0
0
0
1

0
1
0
0
1
0
1
0
0
1

0
1
1
1
1
0
0
0
0
1

1
0
0
1
1
0
1
0
0
1

1
0
1
1
1
0
0
0
0
1

1
1
0
0
0
1
1
1
1
1

1
1
1
1
1
0
0
1
0
1


2. Сколько различных решений имеет уравнение
(K
· L
· M)
· (
·L
·
· M
· N)=1,
где K, L, M, N – логические переменные?
(K
· L
· M)
· (
·L
·
· M
· N)=1

K
L
M
N
K
·L
· M
ШL
· Ш M
· N
(K
· L
· M)
· (
·L
·
· M
· N)

0
0
0
0
0
0
0

0
0
0
1
0
1
1

0
0
1
0
0
0
0

0
0
1
1
0
0
0

0
1
0
0
0
0
0

0
1
0
1
0
0
0

0
1
1
0
0
0
0

0
1
1
1
0
0
0

1
0
0
0
0
0
0

1
0
0
1
0
1
1

1
0
1
0
0
0
0

1
0
1
1
0
0
0

1
1
0
0
0
0
0

1
1
0
1
0
0
0

1
1
1
0
1
0
1

1
1
1
1
1
0
1

Ответ: 4.
III. Закрепление материала
Самостоятельная работа (20-25 минут)
1 вариант
2 вариант

1. Построить таблицу истинности для логических выражений

¬(A => (B => C))
· (A · B · C)
(A
· B) · (A · ¬ B) + (¬A ·¬B)

2. Доказать при помощи таблиц истинности, что:

A B = ¬A + B
A
· B = (¬A + B) · (¬B + A).

3. Даны простые высказывания: A – «Принтер – устройство ввода информации» B – «Процессор – устройство обработки информации» C – «Монитор – устройство хранения информации» D – «Клавиатура – устройство ввода информации» Определите истинность составных высказываний:

А)  (A&B)&(C+D)
A) (A&B) (B&C)

Б) (A+B)~(C&D)
Б) ¬A~¬B

IV. Домашнее задание
§3.4;
конспект.
Построить таблицы истинности для логических выражений
1)           A+(B+¬B¬C);
2)           A&(B&¬BC)
3)           A+(B+¬B)&A+(BC). Урок 6
Тема. Булева алгебра.  ДНФ. Основные законы и правила  преобразования логических выражений.
Цель урока. Познакомить учащихся с основными законами булевой алгебры и научить их применять эти законы.
Ход урока
I. Проверка и обсуждение домашнего задания и самостоятельной работы.
II. Объяснение нового материала
Существуют наборы логических функций, с помощью которых можно выразить любые другие логические функции. Такие наборы называются функционально полными наборами или базисами. Наиболее известный и изученный базис - набор "И", "ИЛИ", "НЕ". Множество всех логических функций, на котором определены эти три операции называется булевой алгеброй; операции и формулы булевой алгебры также часто называют булевыми. (В 1847 году английский математик Джордж Буль разработал алгебру логики).
Любую функцию алгебры логики можно представить только через три операции: конъюнкцию, дизъюнкцию и инверсию. Это происходит посредством представления логической формулы либо в дизъюнктивно-нормальной, либо в конъюнктивно-нормальной форме.
Дизъюнктивно-нормальной формой (ДНФ) формулы алгебры высказываний называется формула, если она представлены в виде дизъюнкции конъюнкций элементарных высказываний и их отрицаний.
Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание:
A B = ¬A + B
Эквиваленцию можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию:
A
· B = (¬A + B) · (¬B + A).
Таким образом, операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания.
Функциональная полнота булевой алгебры означает, что переход от табличного значения к булевой формуле всегда возможен.
Метод перехода: Для каждого набора значений переменных х1, ..., хn на котором функция f (х1, ..., хn) равна 1, выписывается конъюнкция всех переменных; над теми переменными, которые в этом наборе равны 0, ставятся отрицания; все такие конъюнкции соединяются знаками дизъюнкции.
Полученная формула называется  дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) логической функции f (х1, ..., хn).
Например                   
A
B
C
Y

0
0
0
1

0
0
1
1

0
1
0
0

0
1
1
0

1
0
0
1

1
0
1
1

1
1
0
0

1
1
1
0

Y = ¬A · ¬B · ¬C + ¬A · ¬B · C + A · ¬B · ¬C + A · ¬B · C
ДНФ обычно весьма громоздкая формула. Упрощение формул в булевой алгебре производится на основе эквивалентных преобразований, опирающихся на основные законы булевой алгебры:
Законы преобразования  логических выражений.
Законы алгебры логики
Для   ИЛИ
Для   И

Переместительный (коммутативный)
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](1)
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](2)

Сочетательный (ассоциативный)
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](3)
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](4)

Распределительный (дистрибутивный)
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]( 5)
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](6)

Идемпотенции
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](7)
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](8)

Поглощения
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](9)
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](10)

Правила де Моргана
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](11)
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](12)

Склеивания
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](13)
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](14)

Операция переменной с ее инверсией
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](15)
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](16)

Операция с константами
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](17)
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](18)

Двойного отрицания
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](19)

Справедливость приведенных законов можно доказать табличным способом: заполнить столбцы входных переменных наборами значений, вычислить на них значения левой и правой частей доказываемого выражения и убедиться, что результирующие столбцы совпадут.
Используя законы булевой алгебры, упростим логическое выражение, которое мы получили в предыдущем примере:
Y = ¬A · ¬B · ¬C + ¬A · ¬B · C + A · ¬B · ¬C + A · ¬B · C = ¬А · ¬В · (¬С + С) + А · ¬В · (¬С + С) = ¬А · ¬В + А · ¬В = ¬В · (¬А + А) = ¬В

Пример: упростим логическое выражение, обозначенное В
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Воспользуемся законом де Моргана для логического сложения и законом двойного отрицания: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Согласно распределительному закону для логического сложения: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Выполним операцию над переменной А и ее инверсией, а также операцию с константой 1 и получим [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

III. Закрепление материала
По таблице истинности составить формулы для Y1 и Y2 и упростить их:

А
В
С
Y1
Y2

0
0
0
1
1

0
0
1
0
1

0
1
0
1
0

0
1
1
0
0

1
0
0
1
1

1
0
1
0
0

1
1
0
1
0

1
1
1
0
0

Ответ: Y1 = ¬C
Y2 = ¬B · (¬A +¬C)
IV. Домашнее задание
§3.5;
 конспект;
№3.6;
по таблице истинности составить формулы для Y1 и Y2 и упростить их:
А
В
С
Y1
Y2

0
0
0
1
1

0
0
1
1
1

0
1
0
1
0

0
1
1
0
0

1
0
0
0
0

1
0
1
0
0

1
1
0
0
0

1
1
1
0
0

Урок 7
Тема. Преобразование логических выражений с использованием логических законов и правил преобразования.
Цель урока. Научить учащихся  применять основные законы булевой алгебры.
 Ход урока
I. Проверка и обсуждение домашнего задания
по таблице истинности составить формулы для Y1 и Y2 и упростить их:
А
В
С
Y1
Y2

0
0
0
1
1

0
0
1
1
1

0
1
0
1
0

0
1
1
0
0

1
0
0
0
0

1
0
1
0
0

1
1
0
0
0

1
1
1
0
0

Ответ: Y1 = ¬A · ¬B · ¬C + ¬A · ¬B · C + ¬A · B ·¬C = ¬A · ¬B · (¬C + C) + ¬A · B · ¬C = ¬A · ¬B + ¬A · B · ¬C = ¬A · (¬B + B · ¬C) = ¬A · (¬C + ¬B)
Y2 = ¬A · ¬B · ¬C + ¬A · ¬B · C = ¬A · ¬B · (¬C + C) = ¬A · ¬B
II. Закрепление материала
Покажем на примерах некоторые приемы и способы, применяемые при упрощении логических формул:
1
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

2
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] применяется правило де Моргана, выносится за скобки общий множитель, используется правило операций переменной с её инверсией);

3
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (повторяется второй сомножитель, что разрешено законом идемпотенции; затем комбинируются два первых и два последних сомножителя и используется закон склеивания);

4
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (вводится вспомогательный логический сомножитель ([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]); затем комбинируются два крайних и два средних логических слагаемых и используется закон поглощения);

5
 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (сначала добиваемся, чтобы знак отрицания стоял только перед отдельными переменными, а не перед их комбинациями, для этого дважды применяем правило де Моргана; затем используем закон двойного отрицания);

6
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


III. Самостоятельная работа (15-20 минут)
Вариант 1.
Вариант 2.

1. A+(¬A&B)
1. A&(¬A+B)

2. (A&B&¬B)+(A&¬A)+(B&C&¬C)
2. A&B&¬C)+(A&B&C)+¬(A+B)

3. x+¬(y&¬z)+¬(¬x+y+¬z)
3. x&y+x&y&z+x&y&z+x&y&z

IV. Домашнее задание
Выполнить противоположный вариант самостоятельной работы, Урок 8
Тема. Решение логических задач  с помощью рассуждений и средствами алгебры логики. 
 Цель урока. Получить представление о решении логических задач средствами алгебры логики
Ход урока
I. Проверка домашнего задания и самостоятельной работы.
Вариант 1.
Вариант 2.

1. A+(¬A&B)=A+B
1. A&(¬A+B)+A&B

2. (A&B&¬B)+(A&¬A)+(B&C&¬C)=0
2. A&B&¬C)+(A&B&C)+¬(A+B)=1

 3. (к отрицаниям неэлементарных формул применяется правило де Моргана; используются законы двойного отрицания и склеивания);
3 (общий множитель x выносится за скобки, комбинируются слагаемые в скобках первое с третьим и второе с четвертым, к дизъюнкции применяется правило операции переменной с её инверсией);

II. Объяснение нового материала
Разнообразие логических задач и способов их решения очень велико. Но наибольшее распространение получили следующие способы решения логических задач:
средствами алгебры логики;
с помощью рассуждений.
табличный;
с помощью графов.
Рассмотрим решение логических задач средствами алгебры логики
Обычно используется следующая схема решения:
1. изучается условие задачи;
2. вводится система обозначений для логических высказываний;
3. конструируется логическая формула, описывающая логические связи между всеми высказываниями условия задачи;
4. определяются значения истинности этой логической формулы;
5. из полученных значений истинности формулы определяются значения истинности введённых логических высказываний, на основании которых делается заключение о решении.
ЗАДАЧА   1
 В соревнованиях по гимнастике на первенство школы участвуют Алла, Валя, Таня и Даша. Болельщики высказали предположения о возможных победителях: 1: “Первой будет Таня, Валя будет второй”. 2: “Второй будет Таня, Даша - третьей”. 3: “Алла будет второй, Даша - четвертой”. По окончании соревнований оказалось, что в каждом предположении только одно из высказываний истинно, другое же ложно. Какое место на соревнованиях заняла каждая из девочек, если все они оказались на разных местах?
Решение. Введем буквенные обозначения всех высказываний, задающих условие задачи: T1 - “Таня будет первой”; W2 - “Валя будет второй”; T2 - “Таня будет второй”; D3 - “ Даша будет третьей”; A2 - “ Алла будет второй”; D4 - “Даша будет четвертой”. Высказывание каждого болельщика о двух спортсменах можно задать формулами: (1) (2) (3) Помним, что в условии сказано: в каждом предположении только одно из высказываний истинно, другое ложно. Следует учесть и то, что ни одно место не было разделено участниками. Это условие можно задать формулами: A2Ч W2 є0 или (4) T2Ч A2є0 или или (5) T2Ч W2є 0 или (6)
То обстоятельство, что ни один участник не может занять два разных места, задано формулами (7) и (8). D3Ч D4є 0 или (7) T1Ч T2є 0 или (8) Система уравнений решается умножением одного уравнения на другое и нахождением истинного выражения. Умножая уравнение (1) на (2), получим: (9) Умножаем полученное уравнение (9) на (3), получаем: Итак, мы получим ответ:
Ответ: Таня - первая; Валя - четвертая; Даша - третья; Алла - вторая.
ЗАДАЧА   2
Трое друзей, болельщиков автогонок "Формула-1", спорили о результатах предстоящего этапа гонок.
Вот увидишь, Шумахер не придет первым, сказал Джон. Первым будет Хилл.
Да нет же, победителем будет, как всегда, Шумахер, воскликнул Ник. А об Алези и говорить нечего, ему не быть первым.
Питер, к которому обратился Ник, возмутился:
Хиллу не видать первого места, а вот Алези пилотирует самую мощную машину.
По завершении этапа гонок оказалось, что каждое из двух предположений двоих друзей подтвердилось, а оба предположения третьего из друзей оказались неверны. Кто выиграл этап гонки?
Решение. Введем обозначения для логических высказываний:
Ш победит Шумахер; Х победит Хилл; А победит Алези.
Реплика Ника "Алези пилотирует самую мощную машину" не содержит никакого утверждения о месте, которое займёт этот гонщик, поэтому в дальнейших рассуждениях не учитывается.
Зафиксируем высказывания каждого из друзей:

Учитывая то, что предположения двух друзей подтвердились, а предположения третьего неверны, запишем и упростим истинное высказывание

Высказывание истинно только при Ш=1, А=0, Х=0.
Ответ. Победителем этапа гонок стал Шумахер.
III Решение логических задач с помощью рассуждений
Этим способом обычно решают несложные логические задачи.
ЗАДАЧА   1
Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?
Решение. Имеется три утверждения:
1. Вадим изучает китайский; 2. Сергей не изучает китайский; 3. Михаил не изучает арабский.
Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно.
Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно.
Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе ложными. Следовательно, Вадим не изучает китайский, китайский изучает Сергей.
Ответ: Сергей изучает китайский язык, Михаил японский, Вадим арабский.
ЗАДАЧА   2
 В поездке пятеро друзей Антон, Борис, Вадим, Дима и Гриша, знакомились с попутчицей. Они предложили ей отгадать их фамилии, причём каждый из них высказал одно истинное и одно ложное утверждение:
Дима сказал: "Моя фамилия Молотов, а фамилия Бориса Хрущев". Антон сказал: "Молотов это моя фамилия, а фамилия Вадима Брежнев". Борис сказал: "Фамилия Вадима Тихонов, а моя фамилия Молотов". Вадим сказал: "Моя фамилия Брежнев, а фамилия Гриши Чехов". Гриша сказал: "Да, моя фамилия Чехов, а фамилия Антона Тихонов".
Какую фамилию носит каждый из друзей?
Решение. Обозначим высказывательную форму "юноша по имени А носит фамилию Б" как АБ, где буквы А и Б соответствуют начальным буквам имени и фамилии.
Зафиксируем высказывания каждого из друзей:
1. ДМ и БХ; 2. АМ и ВБ; 3. ВТ и БМ; 4. ВБ и ГЧ; 5. ГЧ и АТ.
Допустим сначала, что истинно ДМ. Но, если истинно ДМ, то у Антона и у Бориса должны быть другие фамилии, значит АМ и БМ ложно. Но если АМ и БМ ложны, то должны быть истинны ВБ и ВТ, но ВБ и ВТ одновременно истинными быть не могут.
Значит остается другой случай: истинно БХ. Этот случай приводит к цепочке умозаключений: БХ истинно ® БМ ложно ® ВТ истинно ® АТ ложно ® ГЧ истинно ® ВБ ложно ® АМ истинно.
Ответ: Борис Хрущев, Вадим Тихонов, Гриша Чехов, Антон Молотов, Дима Брежнев.

ЗАДАЧА   3
 Министры иностранных дел России, США и Китая обсудили за закрытыми дверями проекты соглашения о полном разоружении, представленные каждой из стран. Отвечая затем на вопрос журналистов: "Чей именно проект был принят?", министры дали такие ответы: Россия "Проект не наш, проект не США"; США "Проект не России, проект Китая"; Китай "Проект не наш, проект России".
Один из них (самый откровенный) оба раза говорил правду; второй (самый скрытный) оба раза говорил неправду, третий (осторожный) один раз сказал правду, а другой раз неправду.
Определите, представителями каких стран являются откровенный, скрытный и осторожный министры.
Решение. Для удобства записи пронумеруем высказывания дипломатов: Россия "Проект не наш"   (1),   "Проект не США"   (2); США   "Проект не России"   (3),   "Проект Китая"   (4); Китай   "Проект не наш"   (5),   "Проект России"   (6).
Узнаем, кто из министров самый откровенный.
Если это российский министр, то из справедливости (1) и (2) следует, что победил китайский проект. Но тогда оба утверждения министра США тоже справедливы, чего не может быть по условию.
Если самый откровенный министр США, то тогда вновь получаем, что победил китайский проект, значит оба утверждения российского министра тоже верны, чего не может быть по условию.
Получается, что наиболее откровенным был китайский министр. Действительно, из того, что (5) и (6) справедливы, cледует, что победил российский проект. А тогда получается, что из двух утверждений российского министра первое ложно, а второе верно. Оба же утверждения министра США неверны.
Ответ: Откровеннее был китайский министр, осторожнее российский, скрытнее министр США.
IV. Домашнее задание
§3.6;
 конспект;
№3.7; Урок 9
Тема. Решение логических задач  табличным способом и графическим способом.
 Цель урока. Получить представление о решении логических задач табличным способом и графическим способом
Ход урока
I. Проверка домашнего задания.
II. Объяснение нового материала.
Решение логических задач табличным способом
При использовании этого способа условия, которые содержит задача, и результаты рассуждений фиксируются с помощью специально составленных таблиц.
ЗАДАЧА 1
 В симфонический оркестр приняли на работу трёх музыкантов: Брауна, Смита и Вессона, умеющих играть на скрипке, флейте, альте, кларнете, гобое и трубе.
Известно, что:
1. Смит самый высокий; 2. играющий на скрипке меньше ростом играющего на флейте; 3. играющие на скрипке и флейте и Браун любят пиццу; 4. когда между альтистом и трубачом возникает ссора, Смит мирит их; 5. Браун не умеет играть ни на трубе, ни на гобое.
На каких инструментах играет каждый из музыкантов, если каждый владеет двумя инструментами?
Решение. Составим таблицу и отразим в ней условия задачи, заполнив соответствующие клетки цифрами 0 и 1 в зависимости от того, ложно или истинно соответствующее высказывание.
Так как музыкантов трoе, инструментов шесть и каждый владеет только двумя инструментами, получается, что каждый музыкант играет на инструментах, которыми остальные не владеют.
Из условия 4 следует, что Смит не играет ни на альте, ни на трубе, а из условий 3 и 5, что Браун не умеет играть на скрипке, флейте, трубе и гобое. Следовательно, инструменты Брауна альт и кларнет. Занесем это в таблицу, а оставшиеся клетки столбцов "альт" и "кларнет" заполним нулями:
 
скрипка
флейта
альт
кларнет
гобой
труба

Браун
0
0
1
1
0
0

Смит
 
 
0
0
 
0

Вессон
 
 
0
0
 
 

Из таблицы видно, что на трубе может играть только Вессон.
Из условий 1 и 2 следует, что Смит не скрипач. Так как на скрипке не играет ни Браун, ни Смит, то скрипачом является Вессон. Оба инструмента, на которых играет Вессон, теперь определены, поэтому остальные клетки строки "Вессон" можно заполнить нулями:
 
скрипка
флейта
альт
кларнет
гобой
труба

Браун
0
0
1
1
0
0

Смит
0
 
0
0
 
0

Вессон
1
0
0
0
0
1

Из таблицы видно, что играть на флейте и на гобое может только Смит.
 
скрипка
флейта
альт
кларнет
гобой
труба

Браун
0
0
1
1
0
0

Смит
0
1
0
0
1
0

Вессон
1
0
0
0
0
1

Ответ: Браун играет на альте и кларнете, Смит на флейте и гобое, Вессон на скрипке и трубе.
ЗАДАЧА 2
Три одноклассника Влад, Тимур и Юра, встретились спустя 10 лет после окончания школы. Выяснилось, что один из них стал врачом, другой физиком, а третий юристом. Один полюбил туризм, другой бег, страсть третьего регби.
Юра сказал, что на туризм ему не хватает времени, хотя его сестра единственный врач в семье, заядлый турист. Врач сказал, что он разделяет увлечение коллеги.
Забавно, но у двоих из друзей в названиях их профессий и увлечений не встречается ни одна буква их имен.
Определите, кто чем любит заниматься в свободное время и у кого какая профессия.
Решение. Здесь исходные данные разбиваются на тройки (имя профессия увлечение).
Из слов Юры ясно, что он не увлекается туризмом и он не врач. Из слов врача следует, что он турист.
Имя
Юра
 
 

Профессия
 
врач
 

Увлечение
 
туризм
 

Буква "а", присутствующая в слове "врач", указывает на то, что Влад тоже не врач, следовательно врач Тимур. В его имени есть буквы "т" и "р", встречающиеся в слове "туризм", следовательно второй из друзей, в названиях профессии и увлечения которого не встречается ни одна буква его имени Юра. Юра не юрист и не регбист, так как в его имени содержатся буквы "ю" и "р". Следовательно, окончательно имеем:
Имя
Юра
Тимур
Влад

Профессия
физик
врач
юрист

Увлечение
бег
туризм
регби

Ответ. Влад юрист и регбист, Тимур врач и турист, Юра физик и бегун.
ЗАДАЧА 3
Графический способ решения систем логических уравнений.
Рассматривая алгебру высказываний, мы сопоставляем ее с алгеброй чисел. Обратимся к сравнению еще раз. В школьной алгебре для решения уравнений и систем уравнений широко используется графический метод.
В алгебре высказываний графические методы применяются не менее успешно. При решении логических задач очень часто полезно вычертить “дерево логических условий”. Это “дерево” выражает в виде простого чертежа логическую взаимосвязь между данными высказываниями.
Научимся “выращивать” логические деревья на простых примерах. Выращивание любого дерева начинается с рассмотрения исходной формулы.
Логической сумме на логическом дереве будет соответствовать “разветвление” ветвей. Логическому произведению на выращиваемом дереве будет соответствовать “следование” ветвей друг за другом.
Пример 1. Построить дерево для высказывания А+В.
Решение. Каждому простому высказыванию в формуле на выращиваемом дереве будет соответствовать одна ветвь.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.
 

Пример 5.
 

Пример 6.

Пример 7.

Вернемся к условию задачи № 1(из предыдущего урока), построим к ней графическое дерево и проанализируем каждую его ветвь. Для вычерчивания графического дерева нам понадобятся уравнения (1), (2), (3).
Проанализируем каждую ветвь. Ветвь 1: т.к. T1Ч T2є 0, A2Ч T2є 0 Ветвь 2: т.к. T1Ч T2є 0 Ветвь 3: Ветвь 4: , т.к. D3Ч D4 є 0 Ветвь 5: , т.к. W2Ч T2є 0, T2Ч A2є 0 Ветвь 6: , т.к. W2ЧT 2є 0 Ветвь 7: , т.к. W2Ч A 2є 0 Ветвь 8: , т.к. D3Ч D4 є 0 Итак, только выражение ветви 3 эквивалентно 1: Из этого выражения следует: Таня - первая; Алла - вторая; Даша - третья; Валя - четвертая.
IV. Домашнее задание
§3.6;
 конспект;
Задача. Три дочери писательницы Дорис Кей Джуди, Айрис и Линда, тоже очень талантливы. Они приобрели известность в разных видах искусств пении, балете и кино. Все они живут в разных городах, поэтому Дорис часто звонит им в Париж, Рим и Чикаго.
Известно, что:
1. Джуди живет не в Париже, а Линда не в Риме; 2. парижанка не снимается в кино; 3. та, кто живет в Риме, певица; 4. Линда равнодушна к балету.
Где живет Айрис, и какова ее профессия? Урок 10
Тема. Основные логические элементы. Построение схем.
 Цель урока. Получить представление об основных логических элементах и правилах построения схем.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания.
Задача. Три дочери писательницы Дорис Кей Джуди, Айрис и Линда, тоже очень талантливы. Они приобрели известность в разных видах искусств пении, балете и кино. Все они живут в разных городах, поэтому Дорис часто звонит им в Париж, Рим и Чикаго.
Известно, что:
1. Джуди живет не в Париже, а Линда не в Риме; 2. парижанка не снимается в кино; 3. та, кто живет в Риме, певица; 4. Линда равнодушна к балету.
Где живет Айрис, и какова ее профессия?
Решение. Составим таблицу и отразим в ней условия 1 и 4, заполнив клетки цифрами 0 и 1 в зависимости от того, ложно или истинно соответствующее высказывание:
Париж
Рим
Чикаго
 
Пение
Балет
Кино

0
 
 
Джуди
 
 
 

 
 
 
Айрис
 
 
 

 
0
 
Линда
 
0
 

Далее рассуждаем следующим образом. Так как Линда живет не в Риме, то, согласно условию 3, она не певица. В клетку, соответствующую строке "Линда" и столбцу "Пение", ставим 0.
Из таблицы сразу видно, что Линда киноактриса, а Джуди и Айрис не снимаются в кино.
Париж
Рим
Чикаго
 
Пение
Балет
Кино

0
 
 
Джуди
 
 
0

 
 
 
Айрис
 
 
0

 
0
 
Линда
0
0
1

Согласно условию 2, парижанка не снимается в кино, следовательно, Линда живет не в Париже. Но она живет и не в Риме. Следовательно, Линда живет в Чикаго. Так как Линда и Джуди живут не в Париже, там живет Айрис. Джуди живет в Риме и, согласно условию 3, является певицей. А так как Линда киноактриса, то Айрис балерина.
В результате постепенного заполнения получаем следующую таблицу:
Париж
Рим
Чикаго
 
Пение
Балет
Кино

0
0
1
Джуди
1
0
0

1
0
0
Айрис
0
1
0

0
0
1
Линда
0
0
1

Ответ. Айрис балерина. Она живет в Париже.
II. Объяснение нового материала.
Американец Клод Шеннон раскрыл связи между двоичным способом хранения информации, алгеброй логики и электрическими )в те времена релейными) схемами.
Математический аппарат алгебры логики очень удобен для описания того, как функционируют аппаратные средства компьютера, поскольку основной системой счисления в компьютере является двоичная, в которой используются цифры 1 и 0, а значений логических переменных тоже два: “1” и “0”.
Из этого следует два вывода:
1. одни и те же устройства компьютера могут применяться для обработки и хранения как числовой информации, представленной в двоичной системе счисления, так и логических переменных; 2. на этапе конструирования аппаратных средств алгебра логики позволяет значительно упростить логические функции, описывающие функционирование схем компьютера, и, следовательно, уменьшить число элементарных логических элементов, из десятков тысяч которых состоят основные узлы компьютера.
Логический элемент компьютера - это часть электронной логической схемы, которая реализует элементарную логическую функцию
Электронные схемы, реализующие различные логические операции называют вентилями. С помощью этих схем можно реализовать любую логическую функцию, описывающую работу устройств компьютера..
Чтобы представить два логических состояния -1 и 0 в вентилях, соответствующие им входные и выходные сигналы имеют один из двух установленных уровней напряжения. Например, +5 вольт и 0 вольт. Высокий уровень обычно соответствует значению "истина" (1), а низкий -"ложь" (0). Каждый логический элемент имеет свое условное обозначение, которое выражает его логическую функцию, но не указывает на то, какая именно электронная схема в нем реализована. Это упрощает запись и понимание сложных логических схем.
Схема И реализует конъюнкцию двух или более логических значений. Условное обозначение на структурных схемах схемы И с двумя входами представлено на рис. 1.
                Рис. 1
Таблица истинности схемы И
x
y
x . y

0
0
0

0
1
0

1
0
0

1
1
1

Единица на выходе схемы И будет тогда и только тогда, когда на всех входах будут единицы. Когда хотя бы на одном входе будет ноль, на выходе также будет ноль.
Связь между выходом  z  этой схемы и входами  x  и  y  описывается соотношением:   z = x . y (читается как "x и y"). Операция конъюнкции на структурных схемах обозначается знаком  "&"  (читается как "амперсэнд"),  являющимся сокращенной записью английского слова  and.
Схема  ИЛИ  реализует дизъюнкцию двух или более логических значений. Когда хотя бы на одном входе схемы  ИЛИ  будет единица, на её выходе также будет единица.
Условное обозначение на структурных схемах схемы ИЛИ с двумя входами представлено на рис. 5.2.   Знак "1" на схеме от устаревшего обозначения дизъюнкции как   ">=1"  (т.е. значение дизъюнкции равно единице, если сумма значений операндов больше или равна 1).    Связь между выходом  z  этой схемы и входами  x  и  y   описывается соотношением:  z = x v y  (читается как "x или y").
                    Рис..2
Таблица истинности схемы ИЛИ
x
y
x v y

0
0
0

0
1
1

1
0
1

1
1
1

Схема   НЕ  (инвертор) реализует операцию отрицания.  Связь между входом   x  этой схемы и выходом   z  можно записать соотношением   z = , x где     читается как   "не x"   или  "инверсия х".
Если на входе схемы  0,  то на выходе  1.  Когда на входе  1,  на выходе  0.  Условное обозначение на структурных схемах инвертора на рисунке 5.3
                    Рис. 3

Таблица истинности схемы НЕ

x


0
1

1
0

Схема ИНЕ состоит из элемента И и инвертора и осуществляет отрицание результата схемы И. Связь между выходом z и входами x и y схемы записывают следующим образом: , где     читается как   "инверсия x и y".   Условное обозначение на структурных схемах схемы   ИНЕ  с двумя входами представлено на рисунке 4.
                    Рис. 4
Таблица истинности схемы ИНЕ
x
y


0
0
1

0
1
1

1
0
1

1
1
0

Схема ИЛИНЕ состоит из элемента ИЛИ и инвертора  и осуществляет отрицание результата схемы ИЛИ.     Связь между выходом  z  и входами  x  и  y  схемы записывают следующим образом:  ,  где  ,  читается как  "инверсия  x или y ".
Условное обозначение на структурных схемах схемы ИЛИНЕ с двумя входами
               Рис 5


Таблица истинности схемы ИЛИНЕ
x
y


0
0
1

0
1
0

1
0
0

1
1
0

Используя эти вентили можно построить схему реализующую любое логическое выражение,
Пример 1.Разработаем схему , реализующую уравнение Y=X1>X2
Решение Составим таблицу истинности:
X1
X2
Y

0
0
0

0
1
0

1
0
1

1
1
0

Перейдем от таблицы истинности к формуле: Y=X1&¬X2
Построим схему:
13 SHAPE 1415



Пример 2. Разработаем схему сравнения, которая вырабатывает единичный сигнал  на выходе, если входные сигналы равны между собой и нулевой сигнал в обратном случае.
Решение.
Составим таблицу истинности:
X1
X2
Y

0
0
1

0
1
0

1
0
0

1
1
1

Таблица истинности определяется логическим выражением
Y = ¬X1 &¬X2+X1&X2
Построим схему:

Эта схема часто используется и имеет свое обозначение
 



III. Закрепление материала
Пример 3. По таблице истинности составить формулу, упростить ее и построить схему
X1
X2
X3
Y

0
0
0
0

0
0
1
0

0
1
0
0

0
1
1
0

1
0
0
1

1
0
1
1

1
1
0
0

1
1
1
1

Решение
X1&¬X2&¬X3+X1&¬X2&X3+X1&X2&X3 = X1&¬X2&¬X3+X1&X3&(¬X2+X2) = X1&¬X2&¬X3+X1&X3 = X1&(¬X2&¬X3+X3) =X1&(¬X2+X3)
13 SHAPE 1415
IV. Домашнее задание
1. Конспект;
2. §3.7.1;
3. Разработать схему сравнения,  которая вырабатывает единичный сигнал на выходе, если входные сигналы не равны между собой и нулевой сигнал в обратном случае. Урок 11
Тема. Основные структурные единицы ЭВМ (сумматор, триггер, шифратор, дешифратор).
Цель урока. Получить представление об основных структурных единицах ЭВМ.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания
Задача.  Разработать схему сравнения,  которая вырабатывает единичный сигнал на выходе, если входные сигналы не равны между собой и нулевой сигнал в обратном случае.
Решение.
Составим таблицу истинности:

X1
X2
Y

0
0
1

0
1
0

1
0
0

1
1
1


Таблица истинности определяется логическим выражением
Y=¬X1&X2+X1&¬X2
Построим схему:
13 SHAPE 1415Схема,  которую мы получили , выполнив домашнее задание, часто используется  и имеет свое обозначение:
13 SHAPE 1415



II Объяснение нового материала
Сумматор
Заметим, что эта схема сравнения дает на выходе младший разряд суммы двоичных чисел, поданных на входы:
0 +0 =0 0 + 1 = ! 1 + 1 = 1 1 + 1 = 10
Используя элемент сравнения, можно построить схему,. определяющую сумму двух двоичных одноразрядных чисел. Такая схема позволяет складывать два бита. Она называется полусумматором.
Обозначение полусумматора:


 Полный сумматор должен складывать три  отдельных бита, поэтому в его состав войдут два полусумматора:

Таблица истинности для сумматора:
Входы
Выходы

Первое слагаемое
Второе слагаемое
Перенос
Сумма
Перенос

0
0
0
0
0

0
0
1
1
0

0
1
0
1
0

0
1
1
0
1

1
0
0
1
0

1
0
1
0
1

1
1
0
0
1

1
1
1
1
1

Для построения схемы, складывающей многоразрядные числа, потребуется каскад, составленный из полных сумматоров:

Сумматор служит, прежде всего, центральным узлом арифметико-логического устройства компьютера, однако он находит применение также и в других устройствах машины.
Триггер
Важнейшей структурой единицей оперативной памяти компьютера , а также внутренних регистров процессора является триггер.
Триггер - это электронная схема, запоминающая один бит информации. она имеет два устойчивых состояния, одно из которых соответствует двоичной единице, а другое - двоичному нулю.
Триггер был изобретен в 1918 г.  М.А. Бонч-Бруевичем, руководителем Нижегородской лаборатории связи
Термин триггер происходит от английского слова trigger - защелка, спусковой крючок. Для обозначения этой схемы в английском языке чаще употребляется термин  flip-flop, что в переводе значит "хлопанье". Это звукоподражательное название электронной схемы указывает на ее способность почти мгновенно переходить ("перебрасываться") из одного электрического состояния в другой и наоборот.
Самый распространенный тип триггера - так называемый RS - триггер ( S и R , соответственно от английских слов set - установка, и reset - сброс). Условное обозначение триггера:
13 SHAPE 1415




Он имеет два симметричных входа S и R и два симметричных выхода Q и ¬Q, причем выходной сигнал Q является логическим отрицанием сигнала ¬Q.
На каждый из двух входов S и R могут подаваться входные сигналы в виде кратковременных импульсов.
Наличие импульса на входе будем считать единицей, а его отсутствие – нулем.
В обычном состоянии на входы триггера подан сигнал "0", и триггер хранит "0". Для записи "1" на вход S (установочный) подается сигнал "1". Из прохождения сигнала по схеме видно, что триггер переходит в это состояние и будет устойчиво находиться в нем и после того, как сигнал на входе S исчезнет. Триггер запомнил "1". Для того, чтобы сбросить информацию и подготовиться к приему новой, подается сигнал "1" на вход R (сброс), и триггер возвратится к исходному "нулевому" состоянию.
Для того, чтобы связать процессор с другими устройствами потребуются различные преобразователи. Рассмотрим некоторые из них.
Шифратор.
Шифратор преобразует входной сигнал, обозначающий десятичное число от 0 до 7 (например, нажата соответствующая кнопка, а одновременное нажатие двух кнопок запрещено) в трехразрядное двоичное число.
13 SHAPE 1415





Дешифратор.
Дешифратор преобразует трехзначное двоичное число в сигнал, соответствующий десятичному числу от 0 до 7:
13 SHAPE 1415
III. Закрепление материала

1. Для чего необходим сумматор?
2. Чем отличается полный сумматор от сумматора?
3. Для чего необходим триггер?
4. Сколько триггеров содержит оперативная память емкостью 32 Мб?
Решение:
Представим 32 Мб в виде 2N:
32 Мб = 25 · 210 Кб = 25 ·210 ·210 байт = 25 · 210 · 210 · 28 бит = 232
Следовательно, требуется 232 триггеров.

IV. Домашнее задание
1. Конспект.
2. Подготовиться к контрольной работе. Урок 12
Тема. Контрольная работа по теме: "Логические основы ЭВМ".
Цель урока. Контроль знаний учащихся по пройденной теме.
Контрольная работа.
1. Имеются следующие высказывания: A = "это утро ясное", B = "это утро теплое". Выразите следующие формулы на обычном языке:
1 вариант
a)  ¬(¬A & ¬B) 
b)  A & ¬B 
c)  A
· B
 2 вариант
a) ¬A 
·  ¬B
 b) ¬(A
·  B)
 c)  A & B


2. Постройте таблицу истинности для логической формулы и упростите формулу, используя законы алгебры логики:
1 вариант     
A &¬C
· C & (B
· ¬C)
· (A
· ¬B) & C
2 вариант
(¬A
· C) &¬(A & C)&(B
·¬C)&¬(B&C)


3. По таблице истинности составить формулу Y1 (1 вариант), Y2 (2 вариант), упростить ее и построить схему:
А
В
С
Y1
Y2

0
0
0
0
0

0
0
1
0
1

0
1
0
1
0

0
1
1
1
1

1
0
0
0
0

1
0
1
0
0

1
1
0
1
0

1
1
1
0
1


4. Составить по схеме таблицу истинности и логическое выражение:
1 вариант                                                                    2 вариант




5.
1 вариант
Нарисуйте схему только из вентилей  "И - НЕ", соответствующую формуле
Y = X1 + X2 ("ИЛИ")
 2 вариант
 Нарисуйте схему только из вентилей  "ИЛИ - НЕ", соответствующую формуле
Y = X1 & X2 ("И")

Основоположники логики
Аристотель, внук легендарного врача Асклепия, родился в г.Стагира (второе имя - Стагирит) в 384 г. до н.э. Обучался в академии Платона, был дружен с царем Филиппом, обучал логике его сына Александра Македонского. Впервые ввел в логику законы и правила, основал силлогистику, т.е.создал логику. Смерть Аристотеля датируется 322 г до н.э.

Декарт Рене (1596 -1650) - французский философ, математик. Рекомендовал в логике использовать математические методы.


Принципы современной математической логики предвосхитил в своей работе "Об искусстве комбинаторики" (1666) великий немецкий философ, математик, физик и языковед Готфрид Вильгельм Лейбниц(1646-1716). Предложил использовать в логике математическую символику и впервые высказал мысль о возможности применения в ней двоичной системы счисления.

Великий русский и швейцарский ученый Леонард Эйлер (1707-1783) с 1727г. по 1741г. работал в России. С 1766г. был избран академиком Петербургской АН. Ученый необычайной широты интересов. Автор свыше 800 работ по математике, физике, небесной механике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки. Предложил так называемые круги Эйлера, ставшие основой формальной силлогистики.
Основоположником математической логики считается Джордж Буль (1815-1864), английский математик, отец всемирно известной писательницы Этель Лилиан Войнич (роман "Овод").


Клод Элвуд Шеннон (Shannon) (1916 2001) американский инженер и математик. Человек, которого называют отцом современных теорий информации и связи. В 1938 году защитил докторскую диссертацию, в которой разработал принципы логического устройства компьютера, соединив булеву алгебру с работой электрических схем. Эта работа стала поворотным пунктом в истории развития современной информатики и вычислительной техники. Задачи

Задача.1.
По подозрению в совершении преступления задержали Брауна, Джонса и Смита. Вот что они показали:
Браун: Я совершил это. Джонс не виноват.
Джонс: Браун не виноват. Преступление совершил Смит.
Смит: Я не виноват. Виновен Браун.
В процессе следствия выяснилось, что у одного из них оба утверждения ложны, у другого одно ложно, одно истинно, а у третьего оба истинны, а также, что преступник только один. Требуется определить имя преступника, кто из них говорил правду, а кто нет.

Задача 2.
Если в экспедицию поедет Арбузов, то поедут и Брюквин с Вишневским. Если поедут Арбузов с Вишневским, то поедет и Брюквин.. Кто отправится в экспедицию?
Задача 3.
В школе кто-то разбил стекло. Подозреваются Леня, Дима, Толя и Миша. Каждый из них дал показания.
Леня:
1. Я не виновен.
2. Я даже не подходил к окну.
3. Миша знает, кто это сделал.
Дима:
1. Я не разбивал.
2. С Мишей я не был знаком до школы.
3. Это сделал Толя.
Толя:
1. Я не виновен.
2. Это сделал Миша.
3. Дима врет, что я разбил
Миша:
1. Я не виновен.
2. Стекло разбил Леня.
3. Дима может поручиться за меня, т.к. знает меня очень давно.
Потом каждый из них признался, что дал два верных и одно ложное показание. Кто разбил стекло?

Задача 4.
Принадлежите ли вы к 2% самых умных людей планеты? Здесь нет никакого фокуса, только чистая логика.
Есть пять домов, каждый разного цвета. В каждом доме живёт по одному человеку, отличной друг от друга национальности. Каждый жилец пьёт только определенный напиток, курит определённую марку сигарет и держит определённое животное. Никто из пяти человек не пьёт одинаковые напитки , не курит одинаковые сигареты и не держит одинаковых животных.
ВОПРОС : кому принадлежит рыбка?
Подсказки.
1.Англичанин живёт в красном доме.
2.Швед держит собаку.
3.Датчанин пьёт чай.
4.Зелёный дом стоит слева от белого.
5.Жилец зелёного дома пьёт кофе.
6.Человек , который курит PallMall держит птицу.
7.Жилец из среднего дома пьёт молоко.
8.Жилец из жёлтого дома курит Dunhill.
9.Норвежец живёт в первом доме.
10.Курильщик Marlboro живёт около того, кто держит кошку.
11.Человек , который держит лошадь живёт около того, кто курит Dunhill
12.Курильщик сигарет Winfiled пьёт пиво.
13.Норвежец живёт около голубого дома.
14.Немец корит Rothmans.
15.Курильщик Marlboro живёт по соседству с человеком, который пьёт воду.

А.Энштейн придумал эту загадку в прошлом веке и полагал, что 98% жителей Земли будут не в состоянии её решить.

Задача 5.
Следователь допрашивал четырех гангстеров по делу о похищении автомобиля.
Джек сказал: "Если Том не угонял автомобиля, то его угнал Боб".
Боб сказал: "Если Джек не угонял автомобиля, то его угнал Том".
Фред сказал: "Если Том не угонял автомобиля, то его угнал Джек".
Том сказал: "Если Боб не угонял автомобиля, то его угнал я".
Удалось выяснить, что Боб солгал, а Том сказал правду. Правдивы ли показания Джека и Фреда? Кто угнал машину?

Задача 6.
Кто из людей A, B, C и D играет, а кто не играет в шахматы, если известно следующее:
а) если А или В играет, то С не играет;
б) если В не играет, то играют С и D;
в) С играет.

.Задача 7.
В нарушении правил обмена валюты подозреваются четыре работника банка - A, B, C и D. Известно следующее:
a) Если A нарушил, то и B нарушил правила обмена валюты.
б) Если B нарушил, то и C нарушил или A не нарушал.
в) Если D не нарушил, то A нарушил, а C не нарушал.
г) Если D нарушил, то и A нарушил.
Кто из подозреваемых нарушил правила обмена валюты?

Задача 8
Алеша, Боря и Гриша нашли в земле старинный сосуд. Рассматривая удивительную находку, каждый высказал по два предположения:
Алеша: "Это сосуд греческий и изготовлен в V веке".
Боря: "Это сосуд финикийский и изготовлен в III веке".
Гриша: "Это сосуд не греческий и изготовлен в IV веке".
Знакомый археолог определил, что каждый из них прав только в одном из двух предположений. Где и в каком веке изготовлен сосуд?

Задача 9
Пытаясь вспомнить победителей прошлогоднего турнира, 5 бывших зрителей турнира заявили:
1) Антон был вторым, а Борис пятым.
2) Виктор был вторым, а Денис третьим.
3) Григорий был первым, а Борис третьим.
4) Антон был третьим, а Евгений шестым.
5) Виктор был третьим, а Евгений четвертым.
Впоследствии выяснилось, что каждый мог ошибиться, не более чем в одном высказывании. Каково было истинное распределение мест в турнире?

Задача 10
Петя, Вася и Маша остались дома одни. Кто-то из них ел варенье. На вопрос мамы, кто это сделал, они сказали:
а) Петя: “Я не ел. Маша тоже не ела.”
б) Вася: “Маша действительно не ела. Это сделал Петя”
в) Маша: “Вася врет. Это он съел.”
Выясните, кто ел варенье, если известно, что двое из них оба раза сказали правду, а третий один раз соврал, а один раз сказал правду.

Задача 11
На вопрос, кто из трех абитуриентов A, B, C может работать на компьютере, был получен ответ: если может работать B, то может работать и C, но не верно, что если может работать A, то может работать и C. Кто из трех абитуриентов может работать на персональном компьютере?

Задача 12
На вопрос, какая завтра погода, синоптик ответил: если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя; если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра; если будет пасмурно, то будет дождь и не будет ветра. Подумав немного, синоптик уточнил, что его три высказывания можно записать более лаконично. Попробуйте это сделать!

Задача 13
На олимпиаде по информатике студенты A, B, C и D заняли первые четыре места. Когда их спросили о распределении мест, они дали три ответа: D – первый или B – второй; C – первый или A – четвертый; D – второй или B – третий. Как распределились места, если в каждом ответе только одно утверждение истинно?

Задача 14
Кто из абитуриентов A, B, C и D играет, а кто не играет в шахматы, если известно следующее: если A или B играет, то C не играет; если B не играет, то играют C и B; C – играет. Решить задачу с помощью логических операций.

Задача 15
В деле об убийстве имеются двое подозреваемых: A и B. Допросили четверых свидетелей. Показания первого таковы: «A не виноват». Второй свидетель сказал: «B не виноват». Третий свидетель: «Из двух показаний по крайней мере одно истинно». Четвертый: «Показания третьего свидетеля ложны». Четвертый свидетель оказался прав. Кто же совершил преступление?

Задача 16
Аня, Вика и Сергей решили пойти в кино. Учитель хорошо знавший этих ребят, высказал следующие предположения: Аня пойдет в кино только тогда, когда пойдут Вика и Сергей; Аня и Сергей пойдут в кино вместе или же оба останутся дома; чтобы Сергей пошел в кино, необходимо, чтобы пошла Вика. Когда ребята пошли в кино, оказалось, что учитель немного ошибался, из трех его утверждений истинными оказались только два. Кто из названных ребят пошел в кино?

Задача 17
Костя пригласил свою сестру приехать к нему в гости. После этого он получил от нее три сообщения: я приеду в гости, если только со мной приедет папа; чтобы я приехала, необходимо, чтобы меня сопровождала мама; либо приедем мы с мамой, либо приедет только папа. Когда приехали гости, оказалось, что из этих трех сообщений истинным было только одно. Кто приехал навестить Костю?

Задача 18
Студенты узнали, что к ним в группу должен придти юноша из другого института. Обсуждая эту новость, студенты высказали ряд предположений: для того, чтобы новичок был добрым, достаточно чтобы он был умным; если новичок силач, то он либо глупый, либо злой; если новичок умный, то для того, чтобы он был добрым, необходимо, чтобы он бы сильным. Преподаватель сказал, что из этих условий выполнено только одно. Кроме того, преподаватель сказал: «Необходимое условие доброты – это ум. Значит, новичок умный, но слабый». Каким был новичок?

Задача 19
(Пятеро друзей). Пятеро друзей решили записаться в кружок любителей логических задач: Андрей (А), Борис (Б), Виктор (В), Григорий (Г), Дмитрий (Д). Но староста кружка предложил им выдержать вступительный экзамен. «Вы должны приходить к нам по возможности больше вечеров, однако, в разных сочетаниях, соблюдая следующие условия:
а) Если А приходит вместе с Д, то Б должен присутствовать.
б) Если Д отсутствует, то Б должен быть, а В пусть не приходит.
в) А и В не могут одновременно ни присутствовать, ни отсутствовать.
г) Если приедет Д, то Г пусть не приходит.
д) Если Б отсутствует, то Д должен присутствовать, но это в том случае, если не присутствует В. Если же В присутствует при отсутствии Б, то Д приходить не должен, а Г должен прийти.»
Сколько вечеров и в каком составе друзья могли прийти?

Задача 20
(Обед с логикой). N хотел пригласить на обед по возможности больше соседей: A, B, C, D, E, F, G, H. При этом он столкнулся со следующими трудностями:
1) A никогда не придет, если пригласить B или C или если одновременно пригласить D и E.
2) D придет только в том случае, если будет приглашен и E.
3) E не примет только в том случае, если придет B.
4) F наносит визиты только в сопровождении G.
5) H не будет возражать против присутствия F только в том случае, если будет приглашен и A.
6) Если не будет приглашен F, то H будет против приглашения E.
7) Чтобы пришел G, необходимо пригласить D или H.
8) G откажется от приглашения, если пригласят E без A, а также в случае приглашения B или C.
Какое минимальное число гостей и кого именно мог пригласить N?

Задача 21
(Диагностическая). Имеются два симптома S1 и S2 двух болезней X1 и X2. Известно:
1) При X2 есть S1.
2) При X1 и отсутствии X2 есть S2.
3) При X2 и отсутствии X1 нет S2.
4) При S1 или S2 есть, по крайней мере, X1 или X2.
Составьте логическое уравнение, позволяющее по «значениям» признаков («есть», «нет») определить «значения» болезней.

Задача 22
(Экономическая). Менеджер банка должен установить 4 банкомата. В течение каждого дня работы должны выполняться следующие условия:
1) Если работает первый банкомат, то третий банкомат не должен работать, а второй и четвертый должны.
2) Если работает третий банкомат, то первый и четвертый не должны работать, а второй должен.
3) Должен работать по крайней мере один банкомат.
Необходимо определить наибольшее число дней, которое могут работать банкоматы при выполнении этих условий, так, чтобы их назначение ни в один из дней не повторялось, а также указать допустимое расписание на каждый день.

Задача 23
Для полярной экспедиции из восьми претендентов A, B, C, D, E, F, G, H надо отобрать шесть специалистов: биолога, гидролога, синоптика, радиста, механика и врача. Обязанности биолога могут выполнять E и G, гидролога – B и F, синоптика  F и G, радиста – C и D, механика  C и H, врача  A и D. Хотя некоторые претенденты владеют двумя специальностями, в экспедиции сможет выполнять только одну. Кого и кем следует взять в экспедицию, если F не может ехать без B, D – без H и без C, C не может ехать одновременно с G, а A не может ехать вместе с B?

Задача 24
(Спортивная). Шесть спортсменов – Адамов, Белов, Ветров, Дронов, Ершов – в проходившем соревновании заняли шесть первых мест, причем ни одно место не было разделено между ними. О том, кто какое место занял, были получены такие высказывания:
1) «Кажется, первым был Адамов, а вторым – Дронов»;
2) «Нет, на первом месте был Ершов, а на втором – Глебов»,
3) «Вот так болельщики! Ведь Глебов был на третьем месте, а Белов – на четвертом»;
4) «И вовсе не так: Белов был пятым, а Адамов – вторым»;
5) «Все вы перепутали: пятым был Дронов, перед ним – Ветров».
Известно, что в высказывании каждого болельщика одно утверждение истинное, а другое ложное. Определите, какое место занял каждый из спортсменов. Используемые ресурсы:
Литература:
Угринович Н.Д. Информатика и информационные технологии. 10-11. Учебник для 10-11 классов. – М.: БИНОМ, 2003-2005.
Угринович Н.Д. и др. Практикум по информатике и информационным технологиям. Учебное пособие. – М.: БИНОМ, 2003-2005.
Угринович Н.Д. Преподавание курса «Информатика и ИКТ» в основной и старшей школе: Методическое пособие для учителей. – М.: БИНОМ, 2004-2005.
Угринович Н.Д. Компьютерный практикум на CD-ROM. – М.: БИНОМ, 2004-2005.
Информатика, Энциклопедический словарь для начинающих, М.: Педагогика-пресс, 1994.
Шауцукова Л. З. Информатика. Учебное пособие для 10-11 классов, .М., Просвещение, 2003.
Логика в информатике. Методическое пособие. В. Лыскова, е. Ракитина, 2005.
Информатика. Задачник-практикум. Том 1. Под ред. И. Г. Семакина, Е. К. Хеннера.
Коляда М.Г.. Окно в удивительный мир информатики., Донецк, Сталкер, 1997
Газета "Информатика" №42(43) ноябрь, 1995

Интернет-ресурсы:
http://www.tomsk.ru/Books/informatica/theory/ - электронный учебник Л. З. Шауцуковой. Глава 5.
http://www.infologos.narod.ru - сайт "Математическая логика в курсе информатики" учителя информатики СОШ № 81Калининского района г. Новосибирска Выграненко Марии Викторовны.
http://www.ctc.msiu.ru/materials/Book2 - Учебник по курсу "Информатика и информационные технологии", Московского государственного индустриального университета
http://www.krugosvet.ru/ - Энциклопедия Кругосвет (категория наука и техника)
http://logeinstein.nm.ru/ - логическая задача Энштейна
13PAGE 15


13PAGE 145915



&

Y

X3

X1

X2

&

1

1

&

&


·

Q

R

Q

T

S

1

S

Q

Q

R

1

Ср. бит

Ст. бит

4

2

4

7

0



Мл. бит

6



1

5

CD

2

3



1



Ср. бит

Ст. бит

4

2

4

7



0



Мл. бит

6



1

5

DC

2



3



1



=



HS



S



P



Мл. разр.



Ст. разр.




·



&



А1



А2



а



X
Y
Z

0
0
0

0
1
0

1
0
0

1
1
1


X
Y
Z

0
0
0

0
1
1

1
0
1

1
1
1








D:\Новая папка\Мои документы1\ВСА\Курсы\logica\Ревченко Л.П\zakon_log_files\0023.gifD:\Новая папка\Мои документы1\ВСА\Курсы\logica\Ревченко Л.П\zakon_log_files\0024.gifD:\Новая папка\Мои документы1\ВСА\Курсы\logica\Ревченко Л.П\zakon_log_files\0026.gifD:\Новая папка\Мои документы1\ВСА\Курсы\logica\Ревченко Л.П\zakon_log_files\0028.gifD:\Новая папка\Мои документы1\ВСА\Курсы\logica\Ревченко Л.П\zakon_log_files\0033.gifD:\Новая папка\Мои документы1\ВСА\Курсы\logica\Ревченко Л.П\zakon_log_files\0029.gifD:\Новая папка\Мои документы1\ВСА\Курсы\logica\Ревченко Л.П\zakon_log_files\0030.gifD:\Новая папка\Мои документы1\ВСА\Курсы\logica\Ревченко Л.П\zakon_log_files\0037.gifD:\Новая папка\Мои документы1\ВСА\Курсы\logica\Ревченко Л.П\zakon_log_files\0038.gifD:\Новая папка\Мои документы1\ВСА\Курсы\logica\Ревченко Л.П\zakon_log_files\0040.gifD:\Новая папка\Мои документы1\ВСА\Курсы\logica\Ревченко Л.П\u1.jpgD:\Новая папка\Мои документы1\ВСА\Курсы\logica\Ревченко Л.П\u2.jpgD:\Новая папка\Мои документы1\ВСА\Курсы\logica\Ревченко Л.П\u3.jpgD:\Новая папка\Мои документы1\ВСА\Курсы\logica\Ревченко Л.П\u4.jpg^ Заголовок 1f Заголовок 22b Заголовок 3Ў: 15б: 15в, Номер страницы28 Основной текстr6
Обычный (веб)‚d Основной текст с отступом’~ Стандартный HTMLўD Основной текст 3B Нижний колонтитул, Оглавление 14 Оглавление 34 Оглавление 2< Оглавление 4< Оглавление 5< Оглавление 6< Оглавление 7< Оглавление 8< Оглавление 9N
Оглавление 10< Содержимое таблицыF Заголовок таблицы6 Содержимое врезкиD Верхний колонтитул Server`C:\Documents and Settings\Администратор\Application Data\Microsoft\Word\Автокопия Содержание.asdServerDC:\Documents and Settings\Администратор\Мои документы\Содержание.docServerDC:\Documents and Settings\Администратор\Мои документы\Содержание.docServerDC:\Documents and Settings\Администратор\Мои документы\Содержание.docServerDC:\Documents and Settings\Администратор\Мои документы\Содержание.docServerDC:\Documents and Settings\Администратор\Мои документы\Содержание.docServerDC:\Documents and Settings\Администратор\Мои документы\Содержание.doc15

Приложенные файлы


Добавить комментарий