олимпиадные задания с решениями

Школьная олимпиада по математике – 7 класс
Две лошади начали пить воду из одного бака, до верху наполненного водой. Гнедая лошадь выпила половину трети четверти половины бака, а вороная – четверть половины трети половины бака. Какая лошадь выпила больше воды?
баллов
Замените буквы цифрами так, чтобы получилось верное равенство
АААА + ВВВ + С = 2005,
если известно, что одинаковые буквы соответствуют одинаковым цифрам, разные – разным.
баллов
Дедушка решил подарить внукам по новогоднему подарку, состоящему из конфеты, яблока, апельсина, шоколадки и книги. На те же деньги он мог купить одни конфеты и их оказалось бы 224, яблоки– их было бы 112, апельсины – 56, шоколадки – 32, а книг – 16. Сколько внуков у дедушки?
баллов
Огород квадратной формы 5 м ( 5 м нужно разделить несколькими кусками ячеистой сетки на 5 равных по площади «клетчатых» участков. Это легко сделать, используя 20 м сетки, как показано на рисунке.






























Хватит для этой цели 16 м сетки? Выполните рисунок.
баллов

Каждый из трех мальчиков либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. На вопрос «Есть ли хотя бы один лжец среди двух остальных?» первый ответил: «Нет», второй ответил: «Да». Какой ответ дал третий мальчик. Ответ объясните.
баллов
Школьная олимпиада по математике – 7 класс
Две лошади начали пить воду из одного бака, до верху наполненного водой. Гнедая лошадь выпила половину трети четверти половины бака, а вороная – четверть половины трети половины бака. Какая лошадь выпила больше воды?
баллов
Замените буквы цифрами так, чтобы получилось верное равенство
АААА + ВВВ + С = 2005,
если известно, что одинаковые буквы соответствуют одинаковым цифрам, разные – разным.
баллов
Дедушка решил подарить внукам по новогоднему подарку, состоящему из конфеты, яблока, апельсина, шоколадки и книги. На те же деньги он мог купить одни конфеты и их оказалось бы 224, яблоки– их было бы 112, апельсины – 56, шоколадки – 32, а книг – 16. Сколько внуков у дедушки?
баллов
Огород квадратной формы 5 м ( 5 м нужно разделить несколькими кусками ячеистой сетки на 5 равных по площади «клетчатых» участков. Это легко сделать, используя 20 м сетки, как показано на рисунке.






























Хватит для этой цели 16 м сетки? Выполните рисунок.
баллов

Каждый из трех мальчиков либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. На вопрос «Есть ли хотя бы один лжец среди двух остальных?» первый ответил: «Нет», второй ответил: «Да». Какой ответ дал третий мальчик. Ответ объясните.
баллов
Ответы, указания, решения

VII класс

Ответ: лошади выпили равное количество воды.
Решение.
1) 13 EMBED Equation.3 1415 – такую часть воды из бака выпила гнедая лошадь,
2) 13 EMBED Equation.3 1415 – такую часть воды из бака выпила вороная лошадь.

Ответ: 1111+888+6=2005.

Ответ: 8 внуков.
Решение. Замечаем, что яблоко «стоит» 2 конфеты, апельсин – 4 конфеты, шоколадка – 7 конфет, книга – 14 конфет. Значит, «цена» подарка равна 1+2+4+7+14=28 (конфет). Следовательно, внуков у дедушки 224:28=8.

Ответ: хватит.
Решение. Одно из возможных решений показано на рисунке.































Ответ: «Нет».
Решение. Если предположить, что первый мальчик сказал правду, то оказывается, что все трое правдивы, а второй мальчик солгал, т.е. получаем противоречие. Значит, первый мальчик лжец, а второй сказал правду.
Предполагая, что третий мальчик всегда говорит правду, получаем, что первый ученик сказал правду, т.е. получаем противоречие. Значит, третий мальчик – лжец, т.е. он солгал и ответил: «Нет».


















Школьная олимпиада по математике – 8 класс

Сколько существует натуральных трёхзначных чисел, которые делятся или только на 4, или только на 5? баллов
Как с помощью прямоугольной плитки размером 7см на 9см начертить отрезок длинной 1см?
баллов
Работник заключил контракт на месяц на следующих условиях. За каждый отработанный день он получает 100 тенге. Если же он прогуливает, то не только ничего не получает, но подвергается штрафу в размере 25 тенге за каждый день прогула. Через 30 дней выяснилось, что работник ничего не заработал. Сколько дней он действительно работал?
баллов
На доске 9Ч9 некоторые клетки покрасили в один из двух цветов. Оказалось, что если король идет с любой незакрашенной клетки до любой другой незакрашенной клетки, то он обязательно пройдет через клетки двух цветов. Какое наибольшее количество незакрашенных клеток могло быть на доске?
баллов
Задача 2: Найти все тройки простых чисел x,y,z, такие, что 19x – yz = 1995 баллов

Школьная олимпиада по математике – 8 класс

Сколько существует натуральных трёхзначных чисел, которые делятся или только на 4, или только на 5? баллов
Как с помощью прямоугольной плитки размером 7см на 9см начертить отрезок длинной 1см?
баллов
Работник заключил контракт на месяц на следующих условиях. За каждый отработанный день он получает 100 тенге. Если же он прогуливает, то не только ничего не получает, но подвергается штрафу в размере 25 тенге за каждый день прогула. Через 30 дней выяснилось, что работник ничего не заработал. Сколько дней он действительно работал?
баллов
На доске 9Ч9 некоторые клетки покрасили в один из двух цветов. Оказалось, что если король идет с любой незакрашенной клетки до любой другой незакрашенной клетки, то он обязательно пройдет через клетки двух цветов. Какое наибольшее количество незакрашенных клеток могло быть на доске?
баллов
Задача 2: Найти все тройки простых чисел x,y,z, такие, что 19x – yz = 1995 баллов














Ответы, указания, решения

VIII класс

Ответ: 315.
Решение: Всего трёхзначных чисел 900 (от 100 до 999). На 4 делится каждое четвёртое число, т.е. кратных 4 чисел 225. Аналогично, 180 чисел, кратных 5. И 45 чисел, кратных и 4, и 5 (т.е. кратных 20). Чисел, которые делятся только или на 4, или на 5 – всего 13 EMBED Equation.3 1415.

Ответ 28-27=1
Решение: четыре раза отложить от точки А на прямой отрезок, равный 7см, получим отрезок АВ длины 28см. Теперь на этом же отрезке от его начала А трижды отложим отрезок, равный 9см. Получим отрезок АС длины 27см. Тогда отрезок ВС искомый.

Ответ 6 дней.
Решение: так сумма штрафа за прогул рабочего дня в четыре раза меньше заработка в день, то мы получим в итоге ноль, если на каждый день, в течение которого работник трудился, будет приходиться четыре прогула. Пусть он работал х дней, тогда прогуливал 4х. х+4х=30, т.е. х=6

Ответ: 9.
Решение: С любой клетки квадрата 3Ч3 король может добраться до любой другой его клетки, пройдя не больше, чем через одну промежуточную клетку. Поэтому в любом квадрате 3Ч3 есть не больше одной незакрашенной клетки. Так как доску 9Ч9 можно разбить на 9 квадратов 3Ч3, незакрашенных клеток на ней не больше девяти. Раскраска, когда незакрашенных клеток ровно 9, может быть, например, такой (это не единственный возможный пример!): красим в красный цвет третью и седьмую вертикали, а также третью и седьмую горизонтали, незакрашенными оставляем угловые клетки, центральную клетку и клетки в серединах сторон доски, а все остальные клетки красим в синий цвет.

Ответ x = 107, y = 19, z = 2 или x = 107, y = 2, z = 19.
Решение: Заметим, что yz = 19x – 1995 = 19(x – 105). Поскольку числа y и z – простые, то одно из них равно 19, а другое  (x – 105). Пусть, например, y = 19, z = x – 105. Тогда или x или z – четное число, а значит, z = 2, x = 107. Случай z = 19, y = 105 – x рассматривается аналогично. Ответ: x = 107, y = 19, z = 2 или x = 107, y = 2, z = 19.






Приложенные файлы


Добавить комментарий