Применение производной для исследования функций


Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации:

Применение производной для исследования функций. 1. Нахождение промежутков возрастания функции.2. Нахождение промежутков убывания функции.3. Нахождение промежутков постоянства функции.4. Нахождение экстремумов.5. Решение уравнений.6.Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, непрерывной на отрезке. Монотонность функции Убывает на (-;x, x)Возрастает на х1; х2.Постоянна на а;в у х У=f(x) x1 х2 а в Исследование функции на возрастание У Х Если f '(x) >0 в каждой точке интервала I, то функция f монотонно возрастает на интервале I.АЛГОРИТМ D(f)f '(x)Решить неравенство f '(x)>04. Выписать промежутки, где производная имеет знак «+». у=f(x) х2 х1 Исследование функции на убывание у Если в каждой точке интервала I f '(x)<0, то функция у = f(x) монотонно убывает на этом промежутке.АЛГОРИТМD(f)f '(x)Решить неравенство f '(()) <04. Выписать промежутки , где производная имеет знак «-». Х 0 х0 У = f(x) Исследование функции на постоянство у у = f(x) о х а в Функция у = f(x) постоянна на интервале (а; в) тогда и только тогда , когда f '(x) = 0 в каждой точке этого интервала. ЭКСТРЕМУМЫ Необходимое условие экстремумаЕсли Х0 – точка экстремума функции У = f(x) , то эта точка является критической точкой данной функции, т.е. в этой точке производная либо равна нулю, либо она не существует. Если f '(x)>0 при х < x0 и f '(x)<0 при х > x0 , то Х0 – точка максимума. ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМАЕсли функция у = f(x) непрерывна в точкеХ0 и производная f '(x) меняет знак в этой точке , то Х0 – ТОЧКА ЭКСТРЕМУМА функции у = f (x) Если f '(x)<0 при х0 при x>Х0 , то Х0 – точка минимума. f '(x)>0 f '(x)=0 f '(x)<0 Х мах Х min f '- НЕ СУЩЕСТВУЕТ Хмах У Х ? СХЕМА ПРИМЕНЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ИНТЕРВАЛОВ МОНОТОННОСТИ И ЭКСТРЕМУМОВ Характер изменения функции - 2 3 + - + А с и м п т о т ы Прямая у = кх +в называется асимптотой графика функции у = f(x) , если расстояние от точки М графика функции до прямой у = кх + в стремиться к нулю при бесконечном удалении точки М. х У у = в У= f(x) у 0 а Х = а М. .М 0 Х У = f(x) . М у = кх + в y=f(x) У 0 Х СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ЕЁ ГРАФИКА. НАХОЖДЕНИЕ ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБЛАСТИ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ.ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА ЧЕТНОСТЬ И НЕЧЕТНОСТЬ.ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА ПЕРИОДИЧНОСТЬ.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ГРАФИКА ФУНКЦИИ С ОСЯМИ КООРДИНАТ И ИНТЕРВАЛОВ, ГДЕ ФУНКЦИЯ СОХРАНЯЕТ ЗНАК.НАХОЖДЕНИЕ АСИМПТОТ ГРАФИКА ФУНКЦИИ.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК ЭКСТРЕМУМОВ ФУНКЦИИ. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА. Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке. Функция, непрерывная на отрезке, достигает своего наибольшего и наименьшего значений на этом отрезке либо в критических точках, принадлежащих отрезку, либо на его концах. f(b) у =f(x) f(a)f(xmin) 0 а Хmin в х Хmaxmaх f(x) = f (xmax) [a;b]min f(x) = f (xmin) [a;b] 0 а Хmax в х min f(x)=f(b) [a;b] max f(x)=f(xmax) у [а;b] 0 а Хmin Хmax b хmaxf(x)=f(a) [а;b] minf(x)=f(b) [a;b] у f(xmax) у f(b) f(a) f(xmax) у f(a) f(xmax) f(xmin) f(b) ۩ Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке ЭТАПЫНайти производнуюНайти на данном отрезке критические точки, т.е. точки, в которых f’(x)=0 или не существуетВычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка.Из вычисленных значений выбрать наименьшее и наибольшее. пример для функции у = 2xі-3xІ-36x+5 на отрезке [0;4]f ' (x)=6xІ-6x-36f '(x)=0 при х = -2 и при х = 3.Отрезку [0;4] принадлежит только одна критическая точка: х = 3.3. f (0)=5; f (3)=-76; f (4)=-594. max f(x)=f(0)=5; min f(x)=f(3)=-76 [0;4] [0;4]

Приложенные файлы


Добавить комментарий