Тригонометрия


Действительные числа:
Теорема: R - несчётное множество.
Док-во: метод от противного. Несчётность (0;1)
X1=0,n11n12n13…n1k… m1{0,1,…,9}\{9,n11}
X2=0,n21n22n23…n2k… m2{0,1,…,9}\{9,n22}
……………………… ………………………
Xk=0,nk1nk2nk3…nkk… mk{0,1,…,9}\{9,nkk}
=0,m1m2…mk…  x1 x2 x3 …… xk
(0;1) Противоречие.
0<<1  R - несчётное множество.
Теорема: Q - Счётное множество.
Док-ть: Q+ - счётное, т.к. Q=Q-U{0}UQ+
Док-во:

Q+ - счётное множество, т.к. оно есть объединение счётного семейства счётных
множеств. Q- - Тоже, что и Q+ только все элементы множества отрецательные
. По теореме: Всякое множество счётных одмножеств явл. Само счётным  Q - сч. мн.
Предел числовой последовательности:
Пусть aR, >0 {x: x-a<}
Последовательность {Xn} имеет конечный предел если сущ. такое число a?R, что кокого
бы нибыло >0 почти все члены этой последовательности  - окрестность точки a.
Почти все - это значит за исключением быть может конечного числа.
n0=n0()N: n>n0  xn-a< a=limxn , при n
Свойства:
1. Единственность (Если предел есть, то только один)
Док-во: Метод от противного. a=limxn , b=limxn , при n, a>b, a-b=>0
n0=n0(/3):xn-a</3 и xn-b</3
=a-b=(a-xn)-(b-xn)
=(a-xn)-(b-xn) (a-xn)+(b-xn)2/3
2/3 Противоречие.
2. Ограниченность (Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена)
Дано: limxn=a, при n - конечный предел
Док-ть:M>0:xn<M n
Док-во: limxn=a, при n:>0 n0=n0():a-<xn<a+, при n>n0
Пусть =1, тогда при n>n0(1) будет выполняться a-1<xn<a+1 или xn-a<1
Тогда xn<(xn-a)+a<xn-a+a<a+1 n>n0(1)
P=max{a1,a2,…,ano}
M=max{P,a+1}xn<M n
3. Предел подпоследовательности (Если последовательность имеет предел а, то любая
её подпоследовательность имеет тоже предел а)
Свойства предельного перехода связанные с неравенствами:
Теорема 1. Пусть limxn=x, при n - конечный (1 последовательность)
limyn=y, при n - конечный (2 последовательность)
Если x<y, то для почти всех n xn<yn
Док-во: =y-x>0
n=n(/3): xn-x</3 n>n
n=n(/3): yn-y</3 n>n
n0=max{n,n}, n>n0
x-/3<xn<x+/3 
y-/3<yn<y+/3   xn<x+/3<y-/3<yn  n>n0 xn<yn Что и т. док-ть.
Следствие: Если последовательность имеет предел отличный от нуля, то
эта последовательность отделена от нуля. Эта последовательность при больших n
сохраняет знак своего предела)
x=limxn, x0
1) x>0 Предположим x>0 x/2>0x>x/2
limxn>x/2, при n Из Т.1. следует, что n0:n>n0 xn>x/2>0
Теорема 2. Предположим, что limxn=x и limyn=y, при n
Если для почти всех n:xnyn, то и xy
Док-во: Метод от противного. x>y по Т.1.  xn>yn для почти всех n
Противоречие.
Теорема 3. Теорема о двустороннем ограничении.
Пусь limxn=limyn=a, при n, и предположим, что xnznyn n, тогда
1) Сущ. limzn, при n
2) limzn=a, при n
Док-во: n=n():a-xna+, n>n
n=n():a-yna+, n>n
n0=max{n,n}
n>n0  a-xnznyna+  a-zna+  limzn=a
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности:
def {xn}-б.м. :=limxn=0, при n, т.е. >0 n0=n0() n>n0  xn<
def {xn}-б.б. :=limxn=, при n, т.е. >0 n0=n0() n>n0  xn>
Свойство 1. Произведение б.м. последов. на ограниченную даёт сного б.м.
{xn}-б.м. {yn}-ограниченная {xnyn}-б.м.
Док-во: M>0:ynM n - значит ограничена.
>0 n0=n0(/M):n>n0  xn</M 
 n>n0 xnyn=xnyn/M*M=  {xnyn}-б.м.
Свойство 2. Произведение б.б. на посл. Отделённую от нуля даст б.б.
{xn}-б.б. и {yn}-отдел от нуля
Док-во: {1/xn*1/yn}=б.м.*огран.=б.м. (по 1-ому свойству) {xnyn}-б.б.
Свойство 3. Сумма двух (любого кон. числа) б.м. послед. Даст снова б.м.
{xn} и {yn}-б.м. {xn+yn}-б.м.
Док-во:  n=n(/2):n>n xn</2
n=n(/2):n>n yn</2
n0=max{n,n}
n>n0  xn+ynxn+yn</2+/2=
Для того чтобы получить это св-во с любым числом последовательностей
нужно применить метод мат. индукции.
Свойство 4. Сумма б.б. одного знака снова б.б. того же знака
Док-во: Очивиднл.
Неопределённые интегралы.
def / F(x) называется первообразной
для f(x) на [a;b] если F (x)=f(x)
У непрерывной функции первообразная
всегда есть.
Теорема: Различные первообразные
одной и той же функции отличаются
на одно и тоже постоянное слагаемое.
Док-во: F1(x) и F2(x) – первообразные для f(x)
F(x)= F1(x)- F2(x)
F (x)= F1(x)- F1(x)=f(x)-f(x)=0
F(x)=const
Def / Совокупность всех первообразных одной
и той же функции называется её
неопределённым интегралом.



Св-ва линейности:

Замена переменных в неопределённом интеграле
или методом подстановки.
Теорема: Пусть функция x=
x(t): (;)(a;b), xC1(;), fC(a;b)
1)
x=x(t)
2) Если x(t) сохраняет знак, тогда

t=t(x)
Док-во: 1) d/dxF(x(t))=F (x(t))x(t)=f(x(t))x(t)
2) x(t) – строго монотонная  обратная t=t(x)

t=t(x)
Интегрирование по частям.

Рекуррентная формула.

y=+x2 y=2x xy=2x2=2(y-)
U=1/yn dx=dV dU=(-ny/yn+1)dx V=x


In=x/yn+2nIn-2nIn+1
1) In+1=(1/2n)(x/yn+(2n-1)In), n0, 0
2) In=(1/(2n-1))(2nIn+1-x/yn), n1/2, 0
Поле комплексных чисел.
(x;y)=(x;0)+(y;0)(0;1)=x+yi
– алгебраическая запись комплексного числа
Чертёж :

Приложенные файлы


Добавить комментарий