Прямая и плоскость в пространстве


Изучение темы «Прямая и плоскость в пространстве» в классах с углубленным изучением математики.Тема «Прямая и плоскость в пространстве» изучается учащимися в 10-11 классах, и они впервые узнают о таких понятиях, теоремах и леммах как: определение перпендикулярности прямой к плоскости; лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей и др. В процессе изучения темы систематизируются и обобщаются знания учащихся по изученным ранее темам «Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве», «Углы между пересекающимися и скрещивающимися прямыми». Понятие перпендикулярности в пространстве является ключевым при изучении последующих тем «Многогранники», «Объемы тел», «Изображение пространственных фигур», поэтому от того, как учащиеся усвоили данную тему, будет зависеть успешность дальнейшего изучения материала.
схема логического строения геометрии
INCLUDEPICTURE "http://www.edu.yar.ru/russian/pedbank/sor_uch/math/legcosh/images/ris388.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.edu.yar.ru/russian/pedbank/sor_uch/math/legcosh/images/ris388.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.edu.yar.ru/russian/pedbank/sor_uch/math/legcosh/images/ris388.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.edu.yar.ru/russian/pedbank/sor_uch/math/legcosh/images/ris388.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.edu.yar.ru/russian/pedbank/sor_uch/math/legcosh/images/ris388.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.edu.yar.ru/russian/pedbank/sor_uch/math/legcosh/images/ris388.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.edu.yar.ru/russian/pedbank/sor_uch/math/legcosh/images/ris388.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.edu.yar.ru/russian/pedbank/sor_uch/math/legcosh/images/ris388.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.edu.yar.ru/russian/pedbank/sor_uch/math/legcosh/images/ris388.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.edu.yar.ru/russian/pedbank/sor_uch/math/legcosh/images/ris388.gif" \* MERGEFORMATINET
Эффективность обучения геометрии в значительной степени зависит от правильной организации деятельности учащихся по решению геометриче-ских задач. Успешность этой деятельности обусловлена тем набором задач и порядком их предъявления, которые выбраны для ее реализации.
Важную роль играет системность в подборе упражнений. Упражнения необходимо располагать по нарастанию сложности. Содержание задач долж-но носить комплексный характер: решая задачи, ученики должны не только закреплять вновь изученный материал, но и повторять ранее пройденный .
Последовательность в обучении геометрии означает, что при этом со-блюдаются дидактические принципы:
а) от простого к сложному;
б) от представлений к понятиям;
в) от известного к неизвестному;
г) от знания к умению, а от него - к навыку.
Учитель реализует эти принципы, если обучение геометрии представляет собой цепочку последовательных шагов, каждый из которых дополняет известные учащимся знания и умения разумной дозой новых знаний и умений, которые, в свою очередь, становятся инструментом для приобретения школьниками новых знаний и умений.
Данный материал представлен в виде схемы (схема 1).
191071510796Прямая в пространстве
00Прямая в пространстве

10820401460500424434010985500
30060904953000
Способы задания
Прямой в пространстве
4701540121920 Метрические задачи Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
00 Метрические задачи Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
-146685112395Прямая как линия пересечения двух плоскостей
00Прямая как линия пересечения двух плоскостей

1358265306070002053590123190Взаимное расположение прямых в пространстве
00Взаимное расположение прямых в пространстве

-146685238760Уравнение прямой, проходящие через две заданные точки
00Уравнение прямой, проходящие через две заданные точки

1910715173354Каноническое уравнение прямой в пространстве, параметрическое уравнение прямой в пространстве
00Каноническое уравнение прямой в пространстве, параметрическое уравнение прямой в пространстве

-118110412750Через точку и направляющий вектор
00Через точку и направляющий вектор

410146525019000105346525019000195834048895Плоскость в пространстве
00Плоскость в пространстве

372999012446000313944012446000
-70485235585Через точку и нормальный вектор
00Через точку и нормальный вектор
Способы задания плоскости
-704851097280уравнение плоскости в отрезках
00уравнение плоскости в отрезках
-70485544830Уравнение плоскости через три точки
00Уравнение плоскости через три точки
37299901310640Угол между плоскостями
00Угол между плоскостями
2558415191135Взаимное расположение двух плоскостей
00Взаимное расположение двух плоскостей
446341676835Метрические задачи
00Метрические задачи
Общее уравнение прямой
Даны задания для самостоятельной работы в виде рабочей тетради.
Ребята могут выбрать уровень сложности и прорешать задания из учебников .
Задание 1. Расставить стрелки между условиями и выполнить чертеж.
43476421249700457163519785000461054721730500227266510795Имеют одну общую точку
00Имеют одну общую точку
8191510795Две пересекающиеся

прямые
00Две пересекающиеся

прямые

22821906985Не имеют общих точек
00Не имеют общих точек
9144073660Две параллельные прямые
00Две параллельные прямые

44056031206500470782313872700
44542965769100
228219012700Лежат в одной плоскости
00Лежат в одной плоскости

510665714788800110490132080Две скрещивающиеся прямые
00Две скрещивающиеся прямые

44743592060640044062653096600
22821908890Не дежат в одной плоскости
00Не дежат в одной плоскости

53595751113300
54568533039900
Задание 2: В прямоугольной системе координат Охyz заданы точки А(6;-5;1)В(3;-3;-1)С(4;0;3)О(0,0,0),являющиеся вершинами треугольной пирамиды ОАВС. Таблица 3.
Задания Подсказка Решение
найти угол α между ребром ОВ и плоскостью грани ВАС. a)уравнение прямой
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1=z-z1z2-z1
проходящей через две точки.
б) уравнение плоскости.x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=0
в)Угол  между прямой
x-x0a=y-y0b=z-z0c и плоскостью
Ax+By+Cz+D=0 вычисляется по формуле cosα=|а×A+b×B+c×C|a2+b2+c2×A2+B2+√C2Составим уравнение прямой ОВ
х-03-0=у-0-3-0=z-01-0х3=у-3=z1Выведем уравнение плоскости грани
х-6у+5z-13-6-3+51-14-60+53-1x-6 y+5 z-1-3 2 0 -2 5 2 =0х-64-15z-1+0y+5+4z-1+6y+5+0(x-6)=
=4х-24-15z+15+4z-4+6y+30=4х+6у-11z+17=0Найдем угол α 4⋅3+6⋅-3-11⋅132+-32+12⋅42+62+-112=173287 =arcsin17√3287 
Составить каноническое уравнение прямой ОМ, где точка М -пересечение медиан треугольника ВАС.
Координаты точки пересечения медиан будем находить как среднее арифметическое координат вершин треугольника ВАС x1+x2+x33,y1+y2+y33,z1+z2+z33 Уравнение прямой проходящей через точки О и М .
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1=z-z1z2-z1М(6+3+4 3,-5+-3+43 ,1+1+33) м(133,-43 ,53 )
Уравнение прямой
х-0133-0=у-0-43-0=z-053-0
х13/3=у-4/3=z5/3Найти угол между прямыми ОМ и ВА. 1.Находим координаты векторов ОМ и ⃗ВА
2.Находим угол между прямыми как между направляющими векторами.
cos a =|a1×a2+b1×b2+c1×c2|a12+b12+c12×a22+b22+c22OM = (133;-43;53) = 133i+(- 4 3g)+53k
BA = (6-3 ;-5-(-3) ;1-(-1)) = (3;-2;2) =
= 3i-2g+2k
Cos a = |133×3+-43×-2+ 53×2|√(133)2+√(-43)2+√(53)2×√32+√(-2)2+√22 =1653570 arccos a 1653570 Найти расстояние d между прямыми ОМ и ВА. Берем за p1= OM p2= BA m= OBd = |m,р1,р2||р1р2| ,
где m, p1 ,, p2 =х2-х1у2-у1z1-z2а1b1c1а2b2c2≠0
р1р2 =igk a1b1c1a1b2c2=
смешанное и векторное произведение векторов.
m=
(х2-х1)i⃗+(y2-y1)j⃗+(z2-z1)k
p1=a1i+b1g+c1kp2=a2i+b2g+c2kOM = 133i-43g+53k BA= 3i-2g+2k OB = 3i-3g+k(на прямой ОМ выбираем точку О, а на прямой ВА выбираем точку
А)m,p1,p2 = 3-31133-4353 3-22= 3×-43×2+-3×2×3+133×-2×1-1×-43×3-133×-3 ×2--2×53×3=163 p1,p2 = igk133-43533-22 = i×-43 ×2+133×-2 ×k+g×53×3-k×-43×3-133×g×2--2 ×53×i=23i-143k-113gd = 163232+-1432+-1132=16321Задание 1: (базовый уровень)
Написать уравнения прямой
x+2y-3z-5=02x-3y+4z+4=0Решение.
1. Найдем направляющий вектор данной прямой
s= n1 n2=i j k……………… = (…………)
2. Чтобы написать уравнения прямой крайне важно еще найти …………… на этой прямой. В качестве такой точки А(x0, y0, z0) возьмем, у которой z0 = 0, т. е. А(x0, y0, 0). Тогда ее координаты x0 и y0 обязаны удовлетворять уравнениям:
x+2y-3z-5=02x-3y+4z+4=0 ⇒x0=5-2y02x0-3y0+4=0⇒x0=5-2 y025-2y0-3y0+4=0 ⇒ x0=5-2y010-4y0-3y0+4=0 ⇒x0=5-2y0-7y0= -14 ⇒x0= ...y0= ...
3. Следовательно, точка А(……….) принадлежит заданной прямой. Теперь напишем уравнения этой прямой:
Задание 2 (повышенный уровень)  

Рис. 2
В координатном пространстве Oxyz (в прямоугольной системе координат) заданы вершины A(1;2;3),B(3;0;2),C(7;4;6)треугольника .Требуется:составить общее уравнение прямой, содержащей биссектрису AL треугольника.
Решение
1. Сначала составим каноническое уравнение прямой AL
Для этого нужно найти ………… вектор p  этой прямой.
2. Учитывая, что диагональ ромба является биссектрисой, p=b+c, где  … и … — единичные векторы, одинаково направленные с векторами AB и AC соответственно.
Находим :
AB=...i-...g-...k ,AB=… ,b=ABAB=23 i- 23g-13kAC=6i-2g-3k ,AC=… ,b=ACAC=…… i- ……g-……k p=a+c=…… i- ……g-……k+…… i- ……g-……k =…… i- ……g-……k 3.Составляем каноническое уравнение прямой 
AL:x-...3221=y-...-821=z-...221Записывая двойное равенство в виде системы, получаем общее уравнение прямой AL:
x-...3221=y-...-821y-...-821=z-...221 ⇒ x+...y-...=0y+...z-...=0Задания для самостоятельной работы: Е.В. Потоскуев глава 2Задание 3 (базовый уровень)
Составить канонические уравнения прямой по точке  M(-2,0,3) и направляющему вектору s (4,1,-5) 
Решение:
1.Пусть s4,1,-5-направляющий вектор прямой L
2. M-2,0,3 точка, ……… на этой прямой.
3. Возьмем ……… точку M1(x,y,z).Следовательно :
4.Координаты вектора MM1(…,….,….) и вектора s4,1,-5 пропорциональны.(векторы ………)
5. Необходимые и достаточные условия коллиниарности
MM1(…,…,….) и s=…,…,… : MM1=...s, где …. это некоторое действительное число. MM1 x-(-2)),y-0,z-3= (…λ,…λ,…λ)MM1= λs ⇔x-...=4λy-...=1λz-...=-5λ⇔ λ=x+...…λ=y-...…λ=z-...…. ⇔ ответ………….
Задание 4:(повышенный уровень)
left000 Составить каноническое уравнение прямой: x-2y+3z-4=03x+2y-5z-4=0  .
Рис. 4
Решение:
1). Для решения задачи необходимо вспомнить, что для записи канонического уравнения прямой необходимо иметь …………………….,через которую проходит прямая, и …………….. вектор этой прямой.
2). Так как векторы нормалей плоскостей, уравнения которых представлены в системе, не параллельны: n1  = (……) и  n2 = (……), то плоскости пересекаются, а значит, система имеет ……... решение. Если принять: z =0, то из системы легко находим решение:M0=(…....) .Если принять: z =4, то из системы легко находим решение: M1= (…..)  .
3). Определим направляющий вектор прямой l :  s  = M0M1  =(2,7,4). Запишем каноническое уравнение прямой l :  x-...…=y+ ……=z4 .
Ответ: уравнение прямой l : ……………….  .
Задания для самостоятельной работы:
Учебники :
1.П.Е.Данко, А.Г.Попов,Т.Я.Кожевникова «Высшая математика В упражнениях и задачах» № 327,328.
2.Г.Л.Луканкин.Н.Н.Мартынов.Г.А.Шадрин.Г.Н.Яковлев.«Высшая математика» стр 89 № 1,2,3,4,5,6.Задания 5: (базовый уровень)
Составить параметрическое уравнение прямой.
x+41=y5=z-5-4Решение
1.Направляющий вектор прямой s (…,…,…)2.Точка лежащая на прямой M0 (…,…,…)3.Пусть М произвольная точка прямой с координатами М(
4.Координаты вектора M0M(….,…,…)M0M(x…., y…,z….)=(…λ,…λ,-...λ)x+..=λy-...=λ5z-... =-λ4⇔ x=λ-y=λ5+z= -λ4+⇔ x= ...y= ...z= ...Задание 6 (повышенный уровень)
Составить параметрическое уравнение медианы проведенный из вершины А треугольника АВС координаты вершин заданы A1,4,-1B-2,-2,5C(3,1,-2)Решение.
1.На медиане АМ задана точка А.
2.Направляющим вектором для нее может являться вектор
AD=…+…
3.Вычислим координаты вектора (из конца вычесть начало)
AB=……… и AC=……… и AD= ………4.Подставим в параметрическое уравнение прямойx=x0+λmy=y0+λnz=z0+λp в место m,n,p. координаты вектора …= AD .Вместо x0 ,y0,z0 координаты точки ....
5 Получим данное уравнение x=...-λy=...-...λz=...+...λЗадания для самостоятельной работы:
1.П.Е.Данко, А.Г.Попов,Т.Я.Кожевникова «Высшая математика В упражнениях и задачах» № 334-338
2.Г.Л.Луканкин.Н.Н.Мартынов.Г.А.Шадрин.Г.Н.Яковлев.«Высшая математика» стр 90 номер 3-10
Задание 7 (базовый уровень)
Найти уравнение прямой, проходящей через точки A1,1,1и B( 3,1,5) 
Решение:
1) Возьмем в качестве фиксированной точки точку A , тогда направляющий вектор имеет координаты   s =AB =……..
2) Тогда уравнение прямой запишется так x-1…=y-1…=z-1… .
Задание 8 (повышенный уровень)
Составить уравнение прямой,проходящую через точку M(3,2,-1) и пересекающую ось Ox под прямым углом.
Решение:
1.Так как прямая перпендикулярна оси Ox и пересекает ее ,то она проходит через точку N(…,…,…)2.Составим уравнение прямой ,проходящей через точки M и N
Найдем координаты направляющего вектора
  s =MN =…-...,…-...,…-(-...) =…,…,…
3.Уравнение прямой имеет вид x-...…=y-...…=z+...… .
Задания для самостоятельной работы: Е.В Потоскуев глава 2,А.А Погорелов параграфф 15 задания 1-20
Метрические задачи 9:
Составить уравнение прямой ,проходящей через точку M(5,3,4) и параллельно вектору s=2i+5g-8kРешение:
1.Воспользуемся каноническим уравнением прямой
x-x0m=y-y0n=z-z0p  .Направляющий вектор m=… ,n=…,p= …
2 .Координаты x0=...,y0=...,z0=...3.-ю Данное уравнение имеет вид . x-...…=y-...…=z-...…  
Задание 10:(базовый уровень)
Вычислить угол между прямыми
x2= y-2-1=z+23 и 2x+y-z-1=02x-y+3x+5=0 Решение:
1.Направляющий вектор первой прямой является s1=…,…,… 2.Вторая прямая задана системой плоскостей. Направляющий вектор второй прямой находим через ……… ……….. s2=n1×n2 ,где нормальный вектор первой плоскости n1=…,…,…,нормальный вектор второй прямой
n2=…,…,…s2= … ×…=i j k…………… ... = (..i-...g-...k-...k-...g-...i)=(..i-..g-..k)
3.Из этого следует ,что s2=(…,…,…)4. cosᵠ=⁡s1 ⋅ s2|s1||s2| , s1 ⋅s2=...+...-...=0 , то угол ᵠ=... градусовЗадание 11:
Найти угол между прямыми
x-11=y-4=z+31 и x2=y+2-2=z-1Решение:
1.Для первой прямой ………… вектор имеет координаты
m1= ... ,n1=...,p1=...2.Для второй прямой …………. вектор имеет координаты
m2=...,n2= ...,p2=...3. Чтобы найти угол между этими прямыми, воспользуемся соотношением (…………)
cosᵠ=⁡s1 ⋅ s2|s1||s2|=m1m2+n1n2+p1p2m12+n12+p12m22+n22+p22cosᵠ=…⋅…+…⋅-...+... ⋅(-...)…2+(-...)2+…2…2+(-...)2+(-...)2=±……Из этого следует ᵠ = …... или ᵠ = …π… Задание 12 (повышенный уровень)
Рассмотреть пересекаются ли прямые :
x-23=y+31=z+24 и x-32=y-23=z-45Решение:
1.Пусть прямые заданы своими …………….. уравнениями
x-23=y+31=z+24 и x-32=y-23=z-452.Представим ……………. векторы s1 и s2 расположенными на этих прямых s1=...,…,… и s2= …,…,… .
И вектор s1s2=…-...,…--...,(…--...) копланарны то рассматриваемые прямые лежат в одной плоскости и обратно.
3.Необходимым и достаточным условием компланарности векторов
s1s2 ,s1 и s2 является ……………… произведение равно …………...
4.Рассмотрим определитель
…-... …--...…--...… … …… … … =… … …… … …… … … = …
5.Если рассматриваемые прямые удовлетворяют условию ,то они либо ……….. ,либо ……………. В противном случае ………….. Таким образом данные прямые лежат в одной плоскости.Поскольку координаты векторов s1=…,…,… и s2= …,…,… не пропорциональны ,эти прямые ………...
Самостоятельные номера задач :А.В.Погорелов параграф 16-17 задачи прилагаются к параграфам. Е.В.Потоскуев параграф 2-3.
1.8.Взаимное расположение прямых в пространствеТаблица 2.
Скрещивающиеся прямые Параллельные прямые Пересекающиеся прямые
определение Две прямые называются скрещивающимися ,если они не пересекаются и лежат в разных плоскостях. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Две различные прямые называются пересекающимися, если они имеют общую точку.
признаки Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

если 1)b ∊ α
2)a ⋂ α =M,
M∉b то прямые a и b скрещивающиеся.
Если две прямые параллельны третьей прямой,то они параллельны. a∥c,b∥c⇒a∥b В данной главе рассмотрены способы задания прямой в пространстве. На основе изложенного материала приведены практические задания которые можно использовать для закрепления материала для учеников в средней школе.

Приложенные файлы


Добавить комментарий