Конспект урока по математике: Производная произведения и производная частного


Тема урока: Вычисление производных. Производная произведения и частного.
Задачи:
Образовательные:
Применить формулы вычисления производных при решении примеров.
Проверить умение применять правила дифференцирования.
Развивающие:
Развивать у учащихся умение учебного труда.
Развивать умение анализировать, проводить рассуждения.
Развивать устойчивый интерес к предмету.
Воспитательные:
Формировать умение аргументированно отстаивать свои взгляды.
Формировать способность к взаимопомощи, работе в паре, группе, коллективе.
Тип урока: урок закрепления.
Оборудование: учебники, дидактические материалы, плакат №12.

Ход урока:
Организационный момент.
Проверка домашнего задания.
Актуализация знаний.
 Производная произведения функций
Вроде бы по аналогии напрашивается формула …., но неожиданность состоит в том, что:

Пример 1
Найти производную функции 
Здесь у нас произведение двух функций, зависящих от . Сначала применяем наше правило, а затем превращаем функции по таблице производных:

Пример 2
Найти производную функции 
В данной функции содержится сумма  и произведение двух функций –  квадратного трехчлена   и логарифма . Со школы мы помним, что умножение и деление имеют приоритет перед сложением и вычитанием.
Здесь всё так же. СНАЧАЛА мы используем правило дифференцирования произведения:

Теперь для скобки  используем два первых правила:

В результате применения правил дифференцирования под штрихами у нас остались только элементарные функции, по таблице производных превращаем их в другие функции:
Готово.
При определенном опыте нахождения производных, простые производные вроде не обязательно расписывать так подробно. Вообще, они обычно решаются устно, и сразу записывается, что .
Пример 3
Найти производную функции 
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока)
 
Производная частного функций
Пример 4
Найти производную функции 

Теперь смотрим на выражение в скобках, как бы его упростить? В данном случае замечаем множитель, который согласно первому правилу целесообразно вынести за знак производной:

Заодно избавляемся от скобок в числителе, которые теперь не нужны. Вообще говоря, постоянные множители при нахождении производной можно и не выносить, но в этом случае они будут «путаться под ногами», что загромождает и затрудняет решение.
Смотрим на наше выражение в скобках. У нас есть сложение, вычитание и деление. Со школы мы помним, что деление выполняется в первую очередь. И здесь – сначала применяем правило дифференцирования частного:

Таким образом, наша страшная производная свелась к производным двух простых выражений. Применяем первое и второе правило, здесь это сделаем устно, надеюсь, Вы уже немного освоились в производных:

Штрихов больше нет, задание выполнено.
Пример 5
Найти производную функции 
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
Время от времени встречаются хитрые задачки:
Пример 6
Найти производную функции 
Смотрим на данную функцию. Здесь снова дробь. Однако перед тем как использовать правило дифференцирования частного (а его можно использовать), всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли упростить саму дробь, или вообще избавиться от нее?Дело в том, что формула  достаточно громоздка, и применять ее совсем не хочется.
В данном случае можно почленно поделить числитель на знаменатель.Преобразуем функцию:
Ну вот, совсем другое дело, теперь дифференцировать просто и приятно:

Пример 6
Найти производную функции 
Здесь ситуация похожа, превратим нашу дробь в произведение, для этого поднимем экспоненту в числитель, сменив у показателя знак:

Произведение все-таки дифференцировать проще:

Пример 7
Найти производную функции 
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
Ответы:
Пример 3: 
Пример 5: 
Пример 7: 
Решение примеров.
y=xsinxy=sinxxy=xe-xy=3x+12y=(x+1)xy=x2cosxy=xx2+1y=x3-3xy=cos2x3xy=(3x+5)cos2xРефлексия.
Домашнее задание.

Приложенные файлы


Добавить комментарий