Опорные конспекты по алгебре 10 класс по тригонометрии

Формулы тройных углов

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415



Обратные тригонометрические функции

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415



Некоторые значения тригонометрических функций
таблица 3
Аргумент
Функция


sin (
cos (
tg (
ct
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·MBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

75( 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


Вопросы для проверки


1. Что такое числовая окружность?
2. Перечислите признаки числовой окружности.
3. Какая величина принимается за единицу измерения при градусном измерении углов?
4. Что такое радиан?
5. По каким формулам переводят градусную меру угла в радианную и наоборот?
6. Выразите в радианах углы, равные 30(, 45(, 60(, 90(, 180(, 270(, 360(.
7. Почему ошибочна запись ( = 180(?
8. При каком условии длина дуги равна ее радианной мере?
9. Какой угол называется углом поворота?
10. Какой угол поворота называется положительным? отрицательным?
11. Задайте формулой общий вид углов поворота.
12. Сформулируйте правило «полного оборота».
13. Какие функции называются тригонометрическими?
14. Дайте определение функции синус; косинус; тангенс; котангенс.
15. При каких углах не определен тангенс? котангенс?
16. Назовите значения тригонометрических функций углов 30(, 45(, 60(.
17. Какие значения может принимать синус? косинус? тангенс? котангенс?
18. Определите знаки тригонометрических функций в зависимости от того, в какой четверти находится аргумент.
19. Какие из тригонометрических функций являются четными, какие – нечетными?
20. Чему равен период синуса? косинуса? тангенса? котангенса?







Алгебраические функции это функции, заданные аналитическим выражением, в записи которого используются алгебраические операции над числами и переменной (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня).

у = 2х + 3, 13 EMBED Equation.3 1415

Числовая прямая это математическая модель для представления чисел, в которой каждое число соответствует точке на прямой, причем расстояние от точки до начала отсчета равно модулю числа:







Признаки числовой прямой:
1) начало отсчета;
2) единичный отрезок;
3) положительное направление (стрелка).































Чтобы решить простейшее тригонометрическое неравенство нужно:

1. Провести прямую к линии соответствующей функции.
2. Выделить дугу, на которой лежат решения неравенства.
3. Найти концы этой дуги, помня, что обход совершается против часовой стрелки от меньшего числа к большему.
4. Прибавить к концам интервала числа, кратные периоду функции.


Решить неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.

Все решения, удовлетворяющие заданному неравенству, лежат на дуге l. Найдем ее концы:
13 EMBED Equation.3 1415
С учетом периода синуса, запишем ответ:
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415















Если правая часть уравнения отрицательное число, то следует воспользоваться свойствами соответствующих обратных тригонометрических функций, тогда:
13 EMBED Equation.3 1415


При а = 1; 0; –1 решение уравнения записывается в виде (n ( Z):






















Единичная окружность это окружность, радиус которой принят за единицу измерения.

Числовая окружность это единичная окружность с установленным соответствием между действительными числами и точками окружности:









Указанное соответствие можно определить следующим образом: каждому числу ( соответствует такая точка Р числовой окружности, чтобы дуга ((ОР имела длину |(| и была отложена в положительном направлении если ( > 0 и в отрицательном, если ( < 0:

Признаки числовой окружности:
1) начало отсчета – правый конец горизонтального диаметра;
2) единичный отрезок – длина радиуса окружности;
3) положительное направление – против часовой стрелки.


Откладывать можно дуги какой угодно длины. То есть числовую окружность можно рассматривать как окружность радиуса 1, на которую «намотана» числовая прямая:












Угол в 1( это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна 13 EQ \F(1;360) 15части окружности.

Угол поворота это угол, полученный вращением луча около его начала О от начального положения ОА до конечного положения ОВ.

Угол в 1 радиан это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности.

13 EMBED Equation.3 1415


Радианная мера угла численно равна пути, который проходит точка по дуге единичной окружности, на которую опирается этот угол:


Для связи радианов и градусов используют развернутый угол:








1. Говорят: «угол 13 EQ \F((;3) 15радиан» или чаще «угол 13 EQ \F((;3) 15». Обозначение «радиан» или «рад», как правило, опускают.
2. Термин «радианное измерение углов» равносилен термину «числовое измерение углов», т.е. фраза «угол ( равен двум радианам» равносильна фразе «угол ( равен числу 2» и даже «угол ( равен двум». Поэтому вопрос типа «Чему равно 13 EQ \F((;3) 15?» некорректен. Нужно спрашивать: «Чему равен угол 13 EQ \F((;3) 15?» (60() или «Чему равно число 13 EQ \F((;3) 15?» (( 1,05).



Арксинусом числа а называется такое число х из интервала 13 EMBED Equation.3 1415, синус которого равен а.

13 EMBED Equation.3 1415

Арккосинусом числа а называется такое число х из интервала [0; (], косинус которого равен а.

13 EMBED Equation.3 1415


Арктангенсом числа а называется такое число х из интервала 13 EMBED Equation.3 1415, тангенс которого равен а.

13 EMBED Equation.3 1415

Арккотангенсом числа а называется такое число х из интервала (0; (), котангенс которого равен а.

13 EMBED Equation.3 1415


1. Для отрицательных значений аргумента:





2. Из определения аркфункции сразу следует, что:




VI. Формулы половинного аргумента (знак – по функции в левой части):
13 EMBED Equation.3 1415

VII. Формулы сумм:
13 EMBED Equation.3 1415

VIII. Формулы произведений:
13 EMBED Equation.3 1415

IX. Универсальная тригонометрическая подстановка:
13 EMBED Equation.3 1415
X. Некоторые дополнительные формулы:
13 EMBED Equation.3 1415



(Полный( оборот это угол поворота, равный 2( рад (или 360().

















Некоторые положения конечной точки угла поворота:

























Функция косинус это функция, которая ставит в соответствие каждому числу t абсциссу точки М(t) координатной окружности.

Функция синус это функция, которая ставит в соответствие каждому числу t ординату точки М(t) координатной окружности.

Если М(t) = М(х; у), то х = cos t, у = sin t
Таким образом,
М(t) = М(cos t; sin t)


Запись М(t) показывает положение точки М на координатной окружности, а запись М(cos t; sin t) – положение той же точки на координатной плоскости.

Функция тангенс это частное от деления функции синус на функцию косинус.

Функция котангенс это частное от деления функции косинус на функцию синус.

Поскольку деление на нуль невозможно, функции tg t
· и ctg t определены не для всех значений аргумента. Тангенс определен лишь для значений аргумента, при которых cos t ( 0, котангенс определен при sin t ( 0:

13 EMBED Equation.3 1415


Тригонометрические функции это общее название функций синус, косинус, тангенс и котангенс.



I. Основное тригонометрическое тождество и следствия из него:
13 EMBED Equation.3 1415

II. Формулы (теоремы) сложения аргументов:
13 EMBED Equation.3 1415

III. Формулы приведения:
1) функция меняется на кофункцию при переходе через вертикальную ось и не меняется при переходе через горизонтальную;
2) перед приведенной функцией ставится знак приводимой функции, считая ( углом первой четверти.

IV. Формулы двойного аргумента:
13 EMBED Equation.3 1415

V. Формулы понижения степени:
13 EMBED Equation.3 1415 Значения тригонометрических функций некоторых углов
таблица 1

0
13 EQ \F((;6)15
13 EQ \F((;4)15
13 EQ \F((;3)15
13 EQ \F((;2)15
(
13 EQ \F(3(;2)15

sin (
0
13 EQ \F(1;2)15
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
1
0
–1

cos (
1
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EQ \F(1;2)15
0
–1
0

tg (
0
13 EMBED Equation.3 1415
1
13 EMBED Equation.3 1415

0


ctg (

13 EMBED Equation.3 1415
1
13 EMBED Equation.3 1415
0

0





Связь между тригонометрическими функциями одного аргумента
таблица 2
Искомая функция
Выражение искомой функции через


sin (
cos (
tg (
сtg (

sin ( =
sin (
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

cos ( =
13 EMBED Equation.3 1415
cos (
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

tg ( =
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
tg (
13 EMBED Equation.3 1415

сtg ( =
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
сtg (




Тригонометрический набор координат:










у = sin x синусоида







у = cos x (ко(синусоида







у = tg x у = ctg x
тангенсоида (ко(тангенсоида














Линия синусов
Область значений
Знаки по четвертям
Четность – нечетность







|sin t| ( 1

sin(–t) = –sin t



Линия косинусов
Область значений
Знаки по четвертям
Четность – нечетность







|cos t| ( 1

cos(–t) = cos t




Область определения

D(sin) = R
D(cos) = R

Область значений

E(sin) = [–1; 1]
E(cos) = [–1; 1]

Четность – нечетность

нечетная функция
четная функция

Периодичность

sin(x ( 2() = sin x
cos(x ( 2() = cos x




Линия тангенсов
Область значений
Знаки по четвертям
Четность – нечетность







tg t ( (–(; +()

tg(–t) = –tg t



Линия котангенсов
Область значений
Знаки по четвертям
Четность – нечетность







ctg t ( (–(; +()

ctg(–t) = –ctg t




Область определения

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Область значений

E(tg) = (–(; +()
E(ctg) = (–(; +()

Четность – нечетность

нечетная функция
нечетная функция

Периодичность

tg(x ( () = tg x
ctg(x ( () = ctg x










18 3

4 17

16 5

6 15

14 7

8 13

12 9

10 11


0

1

х

а

|а|

1. Числовая прямая

2. Числовая окружность

6

5

4

3

2

1

0

–6

–5

–4

–3

–2

–1

0

Р–(

–3

–2

–1

4

Р(

0



–4

+

3

2

4

–3

–2

–1

0

3

2

1

0

3

2

1

3. Радианная мера углов и дуг

2

–1

0

3

zB

NB

W

W

1 рад

1

( ( 180(

13 EMBED Equation.3 1415

( рад = 180(

4. Угол поворота

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

(

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

0

13 EMBED Equation.3 1415

0

2( ( 6,28

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

(

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

NB

( = (0 + 360( ( п

Общий вид углов поворота


Любые два поворота с конечным положением (0 ( [0; 360() отличаются друг от друга на целое число полных оборотов

это число

это угол

t + 2(

Угол поворота

M(t) = M(t + 2(k)

Правило «полного оборота»

5. Определение тригонометрических функций

NB

W

NB

7. Свойства синуса и косинуса

х

у

1

–1

у

sin t

t

–(

13 EMBED Equation.3 1415

2(

sin(-t)

–1

1

sin t

–t

t

0

–1

1

13 EMBED Equation.3 1415

(

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

–(

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

ctg(-t)

–t

0

t

ctg t

3

0

х

у

t

+(

ctg t

–(

1

–1

0

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

–(

+(

х

у

t

+(

tg t

–(

t

cos t

–1

1

у

х

–1

1

0

t

–t

cos t

cos(-t)

2(

(

13 EMBED Equation.3 1415

–2(

–2(

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

–1

1

х

8. Свойства тангенса и котангенса

6. Графики тригонометрических функций

0

1

–1

0

–1

1

+





+

0

–1

1



+

+



0

–1

1

13 EMBED Equation.3 1415

х

у

13 EMBED Equation.3 1415

–1

1

13 EMBED Equation.3 1415

–(

13 EMBED Equation.3 1415

2(

(

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

х

у

2

1

–2

–1

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

(

13 EMBED Equation.3 1415

х

у

2

1

–1

–2

–(

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

(

х

у

х

у

Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то она соответствует и любому числу вида
t + 2(k, где k ( Z

t

sin t

t

cos t

М(t)

t


t2

W

(

+(

0

а

–(

arcctg а

+(

0

а

13 EMBED Equation.3 1415

–(

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

tg(-t)

–t

0

t

tg t

arctg а

1

t

а

0

–1

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415







+

+

+

0

0

arcsin а

(

1

а

0

t

–1

1

0

–(

+(

–1



+



+

+

0



1 ед.

l

1

0

– 13 EQ \F(1;2)15

t1

13 EMBED Equation.3 1415








13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

( = arcsin а

sin ( % a

–( – (

( – (

1 ед.

х

а

(

( = arccos а

cos ( % a

2

1 ед.

0

1

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

2( – (

При |а| > 1 уравнения sin x = a и cos x = a корней не имеют!

arccos а

W

9. Обратные тригонометрические функции

13 EMBED Equation.3 1415

–(

1

0

–1

0

1

0

–1

0

13 EMBED Equation.3 1415

(

1

0

–1

0

1

0

–1







а

0

(

( = arctg а

tg ( % a

13 EQ \F((;2)15

– 13 EQ \F((;2)15

13 EMBED Equation.3 1415

0

(

1

а

0

–1

(


0

1

0

–1

13 EMBED Equation.3 1415

0

cos x = –1
13 EMBED Equation.3 1415

sin x = –1
13 EMBED Equation.3 1415

sin x = 0
13 EMBED Equation.3 1415

cos x = 0
13 EMBED Equation.3 1415

cos x = 1
13 EMBED Equation.3 1415

sin x = 1
13 EMBED Equation.3 1415

W

NB

10. Простейшие тригонометрические уравнения

zB

11. Простейшие тригонометрические неравенства



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы


Добавить комментарий