План-конспект урока на тему производная сложной функции

АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА – 11 КЛАСС

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА
Составил:
Кочубей В.П.
учитель математики
МБОУ Школа № 9

УРОК 23

Тема: ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Цель: Формировать понятие сложной функции, производной сложной функции, умений
находить производную данной функции.

ХОД УРОКА
I. Оргмомент
II. Актуализация опорных знаний
Математический диктант
Запишите правило дифференцирования произведения.
Запишите правило дифференцирования разности.
Запишите правило дифференцирования частного.
Запишите правило дифференцирования суммы.
Вычислите производную функции f(х) = х2 – 50
·х.
Вычислите fґ(х0), если f(х) = х2 + 7х – 16
·х, х0 = 16.
Найдите скорость движения материальной точки, которая движется по закону
S = s(t) = t2 + 2t, в момент времени t0 = 2с (s – в метрах, t – в секундах).
III. Изучение нового материала
Понятие сложной функции.
Пример:
Пусть нужно найти значение функции y = (4х2 – 1)10 для х = 1.
Порядок действий позволяет производить вычисления в два этапа:
1) g = h(х) = 4х2 – 1;
2) y = (h(х))10 (или более кратко: y=g10, если g = 4х2 – 1).
Тогда имеем для функции y = f(х) = (4х2 – 1)10 или y = f(g) · y = f (h (х)) – для аргумента х.
Определение. Функция y = f(g), где g = h(х), называется сложной, т.е. функция у состоит из функций h и f, если функция h ставит в соответствие числу х число g, а функция f – числу g число у.
Записывают так: y = f (g (h)).
Рассмотрим несколько сложных функций.
Пример 1.
Пусть у =
·sin х. Тогда g = sin х; у =
· g или h(х) = sin х, f(х) =
·h (х).
Пример 2.
Пусть h(х) = cos х; f(х) = х3. Запишите сложные функции у = h(f(х)); z = f(h(х)).
Решение.
у = cos (f (х)) = cos (х3); z = f(х3) = (cos х)3 = cos3х.
Выполнение упражнений.
Запишите формулу зависимости сложной функции у от х, если g(х) = 1/х; h(х) = х3 + 2; f(х) =
·х: а) у = f(g); б) у = g(h); в) у = h(f).
Решение: а) у =
· (g) =
·1/х; б) у = 1/ h = 1/ (х3 + 2); в) у = f3 + 2 = (
·х)3 + 2.
Понятие производной сложной функции.
Если у =
· (
· (х)), тогда

·
· (
·) = у
·
· lim(
·у/
·х) – производная функции у по аргументу
·;

·х
· =
·
·(х) = lim(
·g/
·х) – производная функции g по аргументу х;
ух
· = lim(
·у/
·х) – производная функции у по аргументу х.
Пример.
Пусть у = (х2 – 3х)2. Чтобы найти ух
· можно записать f(х) как квадрат двучлена:
у = f(х) = х4 – 6х3 + 9х2, тогда ух
· = f
·(х) = 4х3 – 18х2 + 9.
Однако такое преобразование можно выполнить не всегда. Тогда используют следующее правило:
Теорема 1. Производная функции у =
· (
· (х)) вычисляется по формуле
ух
· = у
·
· ·
·х
·. Эту формулу еще записывают так: f
·(х) =
·
·(u) ·
·
·(х), где u =
·(х).
В частности, если у = f(kх + m), то у
· = k · f
· (kх + m).
Доказательство теоремы учащиеся рассматривают дома самостоятельно (с. 108 учебника Алгебра и начала математического анализа – 11 кл., Никольский С.М.).
Закрепление навыков.
Решение №№ 4.52, 4.55, 4.57 (нечетные).
IV. Итог урока
Один из учащихся по желанию записывает на доске формулу производной для сложной функции.
Один из учащихся по желанию формулирует правило дифференцирования сложной функции.
V. Домашнее задание
п. 4.6 – выучить теорию, рассмотреть доказательство теоремы 1,
решать №№ 4.52, 4.55, 4.57 (четные).

15

Приложенные файлы


Добавить комментарий