Актуальность и оптимизация использования техники вычислительного счета. Практическое применение быстрого счета на ЕГЭ и ОГЭ.

МБОУ «Солодчинская СШ»

Актуальность и оптимизация использования техники вычислительного счета. Практическое применение быстрого счета на ЕГЭ и ГИА.

(Исследовательская работа по математике)



Работу выполнил:
обучающийся 8 класса
Федечко Семен


Руководитель:
Учитель математики
Андреева
Светлана Геннадьевна


















Солодча, 2018г.



Содержание:
Введение.
Краткая история искусства счета 4 стр.
Техника вычислений. Приемы и способы быстрого счета.
2.1 Способы умножения.
2.1.1 Особые случаи умножения 6 стр.
2.1.2 Необычные способы умножения 12 стр.
2.2 Способы устного возведения в квадрат 14 стр.
2.3 Способы извлечения корня.
2.3.1 Приближенное вычисление квадратного корня 15 стр.
2.3.2 Приближенное вычисление кубического корня 16 стр.
Применение быстрых способов счета на контрольных работах и экзаменационных испытаниях 16 стр.
Заключение 19 стр.
Список литературы.






















Введение.
Зачем нужно владеть техникой вычислений, где может пригодиться [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]? Многие мои ровесники часто возмущается, когда в школе заставляют учить на память таблицу умножения и производить вычисления без калькуляторов. Да, калькулятор сейчас есть везде: в наручных часах, мобильном телефоне, в компьютере, настольном барометре, и бог знает, куда еще не поместила его смелая фантазия современных изобретателей-дизайнеров. Так спрашивается, зачем нам еще и этим забивать себе голову?
Выбор темы исследования, был для меня труден и неоднозначен, ведь довольно трудно найти интересную, перспективную тему для проведения исследования. Но я надеюсь, что выбрал ту самую интересную и перспективную тему.
Из приведенной ниже диаграммы можно увидеть три взаимосвязанных позиции: устный счет, память, скорочтение, которые в той или иной степени способствуют развитию визуального, логического и абстрактного стиля мышления.
Трудно себе представить высококвалифицированного специалиста, в любой области, который постоянно не совершенствует эти три компоненты, даже в наш век информатизации.
Я думаю, что, практически, каждый наблюдал ситуацию, когда человек мучится с тем, чтобы правильно отсчитать сдачу, или пробует высчитать среднее арифметическое своих оценок, или мучается вычислением в столбик сложного примера на контрольной работе, когда до звонка остались считанные минуты и т.д. Таким образом, в любой стране, при любом развитии науки и техники нужно знать технику быстрых вычислений и уметь применять их в практической деятельности.
Школьникам, которые из урока в урок привыкли производить вычисления на МК, трудно приходиться на ЕГЭ и ГИА.
Именно поэтому, данную тему я считаю актуальной и, изучив все её аспекты, я обязательно научу приемам быстрого счета всех желающих.
Цели данной работы:
Изучить некоторые приемы устного счета, позволяющие ускорить и оптимизировать вычислительные процессы.
Развить память и математическую культуры мышления.
Развить творческие и интеллектуальные способности.
Продемонстрировать актуальность данной темы в наши дни.
Задачи:
Изучение литературы по данной теме.
Проведение диагностики навыков быстрого счета у учащихся 5-7 классов.
Освоить различные приемы быстрого счета.
Научиться использовать данные приемы.
Проведение мастер-класса «Приемы быстрого счета».
1. Краткая история искусства счета.

Перед началом работы над данной тематикой, я выяснил, что в лучшем случае, мои товарищи пользуются таблицей умножения, знают значения степеней отдельных чисел, могут применить признаки делимости, знают о существовании пальцевого счета.
На основе этого мониторинга было ясно, что начинать нужно именно с истории быстрого счета и многогранности его способов и приемов.

Пьер Симон Лаплас
(1749 – 1827 гг.)



Я не буду в своей работе останавливаться на разнообразии и истории систем счисления, мне интересен сам процесс счета.
Пьер Лаплас писал: «Мысль – выражать все числа немногими знаками, придавая им значение по форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно оценить, насколько она удивительна »
В толковом словаре С.И. Ожегова дано следующее толкование «Счет- результат чего-нибудь, выраженный в числах»


рис.1

Счёт, которым пользовались первобытные люди и которым иногда пользуются и сейчас, особенно дети, состоит в том, что предметы подсчитываемого множества сопоставляются, т.е. ставятся друг против друга, с предметами некоторой определённой совокупности. У большинства народов такой стандартной совокупностью служили пальцы рук, а иногда и пальцы ног (счёт на пальцах). Наряду с пальцевым счётом для этой цели широко использовались зарубки деревьев, узелки на верёвках (рис.1), применялись некоторые предметы. Вот почему для названия числа два или три использовались разные слова в зависимости от того, о каких двух или трех предметах шла речь.
Наиболее древние письменные математические тексты, известные в настоящее время, относятся к рассвету двух цивилизаций древнего Востока – Египта и Вавилона. В этих математических документах сохранились математические задачи, в которых требовалось умение производить расчеты.
Счет у египтян был по своей идее очень прост. Он состоял из умения складывать, удваивать, дополнять дроби до единицы. Техника сложения и вычитания в папирусах не описана. Умножение на целое число и деление без остатка производились с помощью удвоения, т.е. однократного сложения числа с самим собой. Для этого множитель представляли как сумму тех или иных членов последовательности 1,2,4,8,, что всегда возможно. Удвоение – простейший способ умножения, но ограничение им влекло за собой громоздкость.
Громоздкие вычисления требовали много места и времени. Поэтому люди чаще всего проверяли вычисления на посыпанной пылью или песком доске. Каждое промежуточное вычисление «стиралось» песком, чтобы дать место для следующего вычисления. Повторить заново все вычисления с целью проверки было нелегко.
С возведением в степень и извлечением корня древнеегипетский вычислитель имел дело при нахождении площади квадрата и объема куба или стороны квадрата по его площади. Однако он не умел выполнять эти действия, специальной терминологии не существовало. При вычислении 22 = 4 в Московском папирусе говорилось: «сделай эти 2 в прохождении, получится 4».
Возникновение арифметических таблиц как вспомогательных средств вычислений уходит в глубокую древность Примерно 4000 лет назад египтяне, у которых вычисления с дробями были очень сложными, составляли таблицы для выражений дробей через суммы основных дробей. Самым трудным был случай нецелого деления. Общими рациональными дробями вида m/n египтяне не оперировали. Хотя, представления, равносильные идее общей дроби, у египтян существовали. Для этого им служили аликвотные дроби – доли единицы вида 1/n (13 EMBED Equation.3 1415). Кроме дробей вида 13 EMBED Equation.3 1415, египтяне оперировали еще дробью 2/3 , обозначим её 13 EMBED Equation.3 1415.
В вычислительной технике древнего Египта появилась техника теоретико-числовой задачи о разложении дробей на сумму аликвидных.
Самые простые разложения писцы должны были знать наизусть. Например(в тексте они употреблялись без пояснений):
13 EMBED Equation.3 1415
Таблицы умножения имеют древнее происхождение. Ими пользовались вавилоняне, греки, римляне и другие народы. Знание её всегда считалось необходимым для каждого ученика, в средние века она получила название «Пифагоровой». До введения десятичной системы счисления она употреблялась только для нахождения произведения малых чисел. Заучивание и запоминание её приобрело большое значение лишь с всеобщим распространением десятичной позиционной системы.
Именно от индийской позиционной нумерации происходит наша нумерация, индийцы первыми разработали правила арифметических действий, основанные на этой нумерации. Поэтому будет уместно остановиться на индийских вычислительных способах.
Сложение и вычитание производилось как справа налево, так и слева направо. Для умножения существовала около десятка способов. Например: 135 *12. В процессе умножения цифры множимого постепенно стирались, а на их месте записывались цифры произведения:



1
2


1
3
5


Перемножая 5*2 и стирая 5, получали



1
2


1
3
6
0



1
2



1
3
6
0

, затем сдвигали множитель


И т.д. в итоге стирали множитель, и на доске оставалось произведение 1620.
В одной старинной русской рукописи описывается данный способ умножения, называемый «умножение крестиком».
Индийцы применяли и более удобные приемы умножения. Например, расчерчивали счетную доску на сетку прямоугольников, каждый из которых разделен пополам диагональю, по сторонам сетки записывали сомножители, а промежуточные вычисления писали в треугольниках и складывали их по диагоналям. ( рис.2)

1
3
5




1

3

5

1

1

2

6
1
0

2


6
2
0









рис.2
Много еще, можно затронуть интересных исторических фактов, но моя задача изучить разнообразные техники быстрых вычислений.

2.Техника вычислений. Приемы и способы быстрого счета.
2.1 Способы умножения.
2.1.1 Особые случаи умножения.

Всем нам приходиться пользоваться таблицей умножения, но я могу с уверенностью сказать, что не все её знают в полном объеме или просто сбиваются при расчетах. Есть несколько интересных способов запоминания таблицы умножения.
Некоторые особенности чисел находятся в прямой зависимости от принятой нами десятичной системы. Они легко запоминаются, интересны и могут пригодиться для практических и теоретических приложений.
Рассмотрим таблицу умножения. Я сгруппировал её следующим образом, и вот какие закономерности удалось выявить.
Рассмотрим интересный способ запоминания таблицы умножения на 9.
Для этого запишем, сначала, левую часть, без ответов. Далее, в следующем столбце, начиная, со второй строки запишем цифры от 1 до 9. В соседнем столбце запишем цифры снизу вверх, начиная с цифры ноль до 9. Т.о. получим таблицу умножения на 9. Можно увидеть закономерность в сумме цифр, полученного результата.


913 EMBED Equation.3 14151=


913 EMBED Equation.3 14152=


913 EMBED Equation.3 14153=


913 EMBED Equation.3 14154=


913 EMBED Equation.3 14155=


913 EMBED Equation.3
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Эту закономерность можно проследить, если продолжить данную таблицу:
913 EMBED Equation.3 141511=99
9+9=18
1+8=9

913 EMBED Equation.3 141512=108
1+0+8=9


913 EMBED Equation.3 141513=117
1+1+7=9


913 EMBED Equation.3 141514=126
1+2+6=9
И т.д.


6*2 = 12
6*7 = 42

1+3=4


7-2=5

213 EMBED Equation.3 14152=4


6*4 = 24
6*9 = 54

2+3=5

9-4=5
413 EMBED Equation.3 14152=8


6*3= 18
6*8= 48

1+3=4

8-3=5





Если разность между вторыми множителями произведения равно пяти, то разность между числами, выражающими разряды десятков произведения, равна трем.
Пропорциональность между единицами произведений, этих пар, равна двум.

Рассмотрим таблицу умножения на 6:




Самый интересный способ запоминания таблицы умножения и выполнение самого умножения это при помощи пальцев рук. Пальцевый счет был широко распространен и в средние века. Ирландский ученый монах Беда Достопочтенный (673-735), написавший книгу «О счете времени», посвятил целую главу счету на пальцах. Очень вероятно, что, только, достигнув известного культурного уровня, человек в полной мере оценил какое удобное счетное приспособление, представляют суставы пальцев. В исторических книгах сохранились свидетельства о том, как путешественники рассказывали, будто китайцы с большим умением сообщают друг другу с помощью пальцев биржевые цены и коммерческие тайны.
На рисунке 3 соответствующими цифрами обозначено, каким порядком прикосновения могло быть показано и прочитано на одной руке число 3074. Пальцевый счет, который постепенно исчезал после полного утверждения десятичной позиционной системы счисления, сохранился в Европе до XVIII века.
Как же использовать данный аппарат для умножения? Давайте каждому пальцу на левой и на правой руке приписывается определенное число: мизинцу - 6, безымянному пальцу - 7, среднему - 8, указательному - 9 и большому - 10.














Допустим, нам необходимо умножить 7 на 6.(рис 4.)
Соедините вместе безымянный палец левой руки (7) с указательным пальцем правой (6), как показано на рисунке. А теперь считаем.
На левой руке выше 7 оказались три пальца (средний, указательный и большой), на правой выше 6 - четыре пальца (безымянный, средний, указательный и большой). Эти пальцы будем называть «верхними».
Остальные пальцы назовем нижними (мизинец + два пальца, которые соприкасаются). В этом случае (7 13 EMBED Equation.3 1415 6) получается 7 верхних пальцев и 3 нижних. Теперь найдем произведение 7 13 EMBED Equation.3 1415 6. Для этого:
1) умножим количество нижних пальцев на 10, получим 3 13 EMBED Equation.3 1415 10 = 30;
2) перемножим количества верхних пальцев на левой и правой руках, получим 313 EMBED Equation.3 1415 4 = 12;
3) наконец, сложим эти два числа, получим окончательный ответ:30+12=42.
Мы получили, что 7 13 EMBED Equation.3 1415 6 = 42.
Проверьте остальные варианты, и вы убедитесь, что этот старинный русский способ сбоев не даёт.
Рассмотрим еще один простой метод.(фото слева) Допустим, нам нужно умножить 7 на 9. Повернём руки ладонями к себе и загнём седьмой палец (начиная считать от большого пальца слева). Число пальцев слева от загнутого будет равно десяткам, а справа единицам искомого произведения. Приведенный выше метод легко обобщается для умножения на 9 любых двузначных чисел (а это уже может иногда помочь). Умножим 37 13 EMBED Equation.3 1415 9?
Вставим число ДЕСЯТКОВ нашего двузначного множителя, раздвинув пальцы в соответствующей позиции (палец «десятков» и следующий за ним образуют «V»). Палец, соответствующий ЕДИНИЦАМ множителя загнём как и раньше. Перед нами три группы пальцев: сотни, десятки и единицы произведения, соответственно: 37 13 EMBED Equation.3 1415 9 = 333.
Если в множителе число десятков больше числа единиц (например, «83), то нужно считать с «перехлёстом», т.е. дойдя до последнего (крайнего правого) большого пальца, продолжать счёт с первого (крайнего левого) большого пальца. Загнутый палец в подсчётах не участвует.
Вернемся к способам быстрого счета в десятичной системе счисления.
1) Рассмотрим способ разложения на множители:
Пример № 1: 47 13 EMBED Equation.3 1415 9 = 4013 EMBED Equation.3 14159 + 713 EMBED Equation.3 14159 = 360+63 = 423.
Пример № 2: Если оба множителя двузначные числа, можно мысленно разбить один из них на десятки и единицы, например: 39 13 EMBED Equation.3 1415 12 = 39 13 EMBED Equation.3 1415 10 + 39 13 EMBED Equation.3 1415 2 = 390 +78 = 468.
Пример №3. Если один из множителей легко разлагается на простые множители, то можно данный множитель увеличить, уменьшив другой множитель на это же число. Например: 45 13 EMBED Equation.3 1415 18, в данном случае 18 = 913 EMBED Equation.3 1415 2, увеличим 45 в два раза и 18 уменьшим в два раза, получим выражение, легко вычисляемое устно: 45 13 EMBED Equation.3 1415 18 = 90 13 EMBED Equation.3 1415 9 =810.
Пример №4. В случае, когда один из множителей разлагается на простые, бывает удобно умножить их последовательно на данные множители, например: 445 13 EMBED Equation.3 1415 6 = 44513 EMBED Equation.3 1415213 EMBED Equation.3 14153=89013 EMBED Equation.3 14153 = 2670.
Пример №5. Используя формулу сокращенного умножения (a+b)(a-b)=a2-b2, умножение можно выполнить следующим образом:
4913 EMBED Equation.3 141551 = (50-1) 13 EMBED Equation.3 1415(50+1)= 502-12=2500 -1 = 2499;
2213 EMBED Equation.3 141526= (24 – 2) 13 EMBED Equation.3 1415(24+2)= 242- 22 = 576 – 4 = 572;
13 EMBED Equation.3 1415.
2) Способы умножения на 13 EMBED Equation.3 1415:
Пример №1. Чтобы умножить, например, число 57 на 13 EMBED Equation.3 1415, необходимо к 57 прибавить его половину, т.е. 57 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415= 57 + 28,5 = 85,5.
Пример №2. Аналогично, чтобы умножить на 13 EMBED Equation.3 1415, необходимо к данному числу прибавить его четверть, например: 18 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 = 18 + 4,5 = 22,5.
Пример №3. Чтобы умножить число на дробь 213 EMBED Equation.3 1415 , можно
·і і множимое число умножить на 5 и разделить на 2, например:16 13 EMBED Equation.3 1415 213 EMBED Equation.3 1415 = (16 13 EMBED Equation.3 14155) /2=60/2=30.
Конечно, не стоит забывать и стандартные правила умножения дробей.
3) Способы умножения на 9 и на 11.
Пример №1. Чтобы умножить число на 9 к нему приписывают ноль и отнимают множимое, например: 83 13 EMBED Equation.3 1415 9 = 830 – 83 = 747.
Пример №2.
1 способ. Чтобы, устно, умножить число на 11, необходимо множимое умножить на 10 и прибавить множимое, например: 67 13 EMBED Equation.3 1415 11 = 670 + 67 = 737.
2 способ.
Следует “раздвинуть” цифры числа, умножаемого на 11, и в образовавшийся промежуток вписать сумму этих цифр, причем если эта сумма больше 9, то, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд.
74 13 EMBED Equation.3 141511 = 814, т.к. 7 + 4 = 11, единицу помещаем между восьмеркой (семерка плюс перенесенная единица) и четверкой,
5313 EMBED Equation.3 141511 = 583, т.к. 5+3=8.
4)Умножение двузначного числа на 101 и на 10101.
Пожалуй, самое простое правило: припишите ваше число к самому себе.
1) 87 13 EMBED Equation.3 1415101 = 8787. 2) 59 13 EMBED Equation.3 141510101 = 595959.
Интересно заметить, что зная на память таблицу умножения 913 EMBED Equation.3 1415 19, можно выполнить устно умножение 14913 EMBED Equation.3 14158, следующим образом: 18913 EMBED Equation.3 14158 = 18013 EMBED Equation.3 1415 8 + 913 EMBED Equation.3 14158 = 1440 + 72 =1512.

2
3
4
5
6
7
8
9

11
22
33
44
55
66
77
88
99

12
24
36
48
60
72
84
96
108

13
26
39
52
65
78
91
104
117

14
28
42
56
70
84
98
112
126

15
30
45
60
75
90
105
120
135

16
32
48
64
80
96
112
128
144

17
34
51
68
85
102
119
126
153

18
36
54
72
90
108
126
144
162

19
38
57
76
95
114
133
152
171

Таблица умножения 1913 EMBED Equation.3 14159

Вот несколько интересных образцов умножения, которые легко запоминаются и могут быть использованы на ЕГЭ.
1 13 EMBED Equation.3 1415 1 = 1 11 13 EMBED Equation.3 1415 11 = 121 111 13 EMBED Equation.3 1415 111 = 12321 1111 13 EMBED Equation.3 1415 1111 = 1234321 11111 13 EMBED Equation.3 1415 11111 = 123454321 111111 13 EMBED Equation.3 1415 111111 = 12345654321 1111111 13 EMBED Equation.3 1415 1111111 = 1234567654321 11111111 13 EMBED Equation.3 1415 11111111 = 123456787654321 111111111 13 EMBED Equation.3 1415 111111111 = 12345678987654321;

2.






1
13 EMBED Equation.3 1415
9
+
2
=
1
1














1
2
13 EMBED Equation.3 1415
9
+
3
=
1
1
1












1
2
3
13 EMBED Equation.3 1415
9
+
4
=
1
1
1
1










1
2
3
4
13 EMBED Equation.3 1415
9
+
5
=
1
1
1
1
1








1
2
3
4
5
13 EMBED Equation.3 1415
9
+
6
=
1
1
1
1
1
1






1
2
3
4
5
6
13 EMBED Equation.3 1415
9
+
7
=
1
1
1
1
1
1
1




1
2
3
4
5
6
7
13 EMBED Equation.3 1415
9
+
8
=
1
1
1
1
1
1
1
1


1
2
3
4
5
6
7
8
13 EMBED Equation.3 1415
9
+
9
=
1
1
1
1
1
1
1
1
1
























3.






9
13 EMBED Equation.3 1415
9
+
7
=
8
8














9
8
13 EMBED Equation.3 1415
9
+
6
=
8
8
8












9
8
7
13 EMBED Equation.3 1415
9
+
5
=
8
8
8
8










9
8
7
6
13 EMBED Equation.3 1415
9
+
4
=
8
8
8
8
8








9
8
7
6
5
13 EMBED Equation.3 1415
9
+
3
=
8
8
8
8
8
8






9
8
7
6
5
4
13 EMBED Equation.3 1415
9
+
2
=
8
8
8
8
8
8
8




9
8
7
6
5
4
3
13 EMBED Equation.3 1415
9
+
1
=
8
8
8
8
8
8
8
8


9
8
7
6
5
4
6
2
13 EMBED Equation.3 1415
9
+
0
=
8
8
8
8
8
8
8
8
8


4.



12
34
56
79
13 EMBED Equation.3 1415
8
=
987
654
32











12
34
56
79
13 EMBED Equation.3 1415
9
=
111
111
111











12
34
56
79
13 EMBED Equation.3 1415
18
=
222
222
222











12
34
56
79
13 EMBED Equation.3 1415
27
=
333
333
333











12
34
56
79
13 EMBED Equation.3 1415
36
=
444
444
444











12
34
56
79
13 EMBED Equation.3 1415
45
=
555
555
555











12
34
56
79
13 EMBED Equation.3 1415
54
=
666
666
666











12
34
56
79
13 EMBED Equation.3 1415
63
=
777
777
777











12
34
56
79
13 EMBED Equation.3 1415
72
=
888
888
888











12
34
56
79
13 EMBED Equation.3 1415
81
=
999
999
999









2.1.2 Необычные способы умножения.
В истории математики известно около 30 общих способов умножения, отличающихся либо схемой записи, либо самим ходом вычислений. Принятый у нас обычный способ умножения крестиком, в котором многие часто допускают ошибки на разных этапах вычислений, является привычным для нас, но не самым удобным.
Рассмотрим еще несколько способов умножения.
Пример №1. Необходимо быстро, в уме, умножить 12 на 13. Как? Вот простой способ:
Для этого последнюю цифру сложить с первым числом: 3+12=15.
Затем умножаем число единиц первого числа на число единиц второго числа: 2*3=6
Записываем результат.



12 13 EMBED Equation.3 1415 13 = 156




Пример № 2. Необходимо быстро, в уме, умножить 13 на 17.
Необходимо последнюю цифру сложить с первым числом: 7+13=20 .
Затем умножаем число единиц первого числа на число единиц второго числа: 3*7=21.
Далее выполняем запись, соблюдая разрядность (десятки пишем под десятками и складываем)


1313 EMBED Equation.3 1415 17 = 20
+ 2 1
2 2 1
Пример № 3.
21 13 EMBED Equation.3 1415 13 = ?
Алгоритм:
Чертим линии соответствующие первому числу (2-е линии - десятки; 1 – единицы)
Аналогично второму числу.
Затем считаем пересечение линий. Результат записываем против часовой стрелки.

21 13 EMBED Equation.3 1415 13 = 2 7 3



Пример № 4.(решение аналогично примеру3)

123 13 EMBED Equation.3 1415 321 = ?


123 13 EMBED Equation.3 1415 321 = 3 9 4 8 3


Пример №5.
При умножении двух чисел с одинаковым числом десятков и суммой единиц, равной 10 нужно число десятков умножить на следующее натуральное число и к полученному числу приписать произведение единиц.
Например, Найдем произведение чисел 62 и 68. (Число десятков в обоих числах равно 6, сумма единиц - 10.)
Следующее натуральное число 7. Тогда 7 х 6 = 42.
Припишем к числу 42 произведение единиц 2 х 8 == 16.
Получим 62 13 EMBED Equation.3 1415 68 =4216
Также хочется добавить в работу способы устного извлечение корней без использования калькулятора и возведения в квадрат, что является необходимым при решении задач ГИА и ЕГЭ, а так же является хорошей тренировкой ума.

2.2 Способы устного возведения в квадрат.

Квадрат числа, оканчивающегося на 5.
При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 5, нужно отбросить эту цифру 5, умножить полученное число на следующее натуральное число и к полученному результату приписать 25.
Пример № 1. Найдем без помощи калькулятора квадрат 95.
913 EMBED Equation.3 141510 =90
к числу 90 приписываем число 25, получаем 9025. Т.е. 952 = 9025;
Пример №2. 1352 (1313 EMBED Equation.3 141514) к полученному результату припишем 25
Умножим устно 13 на 14 способом, описанным выше (пример №2)
1313 EMBED Equation.3 1415 14= 17
+ 12
182приписываем 2518225, т.о. 1352=18225.
Пример № 3. Аналогично и с десятичными дробями: 7,52 =56,25.

Квадрат числа, близкого к 50.
При возведении в квадрат числа, близкого к 50, число 50 играет роль опорного числа.
Алгоритм:
Определяется разность.
К этой разности прибавляется число 25.
К полученному результату приписываются два нуля, а затем добавляется квадрат разности.
Пример № 4. Найдем без помощи калькулятора квадрат числа 47.
Число 50 - это опорное число. Тогда разность равна 47- 50= -3 <0. 25 + (-3) = 22. Квадрат разности равен (-3)2=9.
472=2200+9=2209.
Пример №5. Найдем без помощи калькулятора квадрат числа 64.
Число 50-это опорное число. Тогда разность равна 64- 50 = 14 >0.
25 + 14 = 39. Квадрат разности равен 196. Следовательно,
642= 3900 + 196 = 4096.

Квадрат числа, оканчивающегося на 1.
При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 1, нужно заменить эту единицу на 0, возвести новое число в квадрат и прибавить к этому квадрату исходное число и число, полученное заменой 1 на 0.
Пример № 6. 712 = ?
7170702=49004900+70+71=5041=712.
Квадрат числа, оканчивающегося на 6.
При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 6, нужно заменить цифру 6 на 5, возвести новое число в квадрат (описанным ранее способом) и прибавить к этому квадрату исходное число и число, полученное заменой 6 на 5.
Пример №7. 562 =?
5655552=3025(513 EMBED Equation.3 14156=303025) 3025+55+56 = 3136= 562.

Квадрат числа, оканчивающегося на 9.
При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 9, нужно заменить эту цифру 9 на 0 (получим следующее натуральное число), возвести новое число в квадрат и из этого квадрата вычесть исходное число и число, полученное заменой 9 на 0.
Пример №8. 592 =?
59 60602=3600 3600 – 60 – 59 = 3481= 592.

Квадрат числа, оканчивающегося на 4.
При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 4, нужно заменить цифру 4 на 5, возвести новое число в квадрат и из этого квадрата вычесть исходное число и число, полученное заменой 4 на 5.
Пример № 9. 842=?
8485852=7225(813 EMBED Equation.3 14159=727225) 7225 – 85 – 84 = 7056 =842.

*При возведении в квадрат часто бывает удобно воспользоваться формулой (а13 EMBED Equation.3 1415b)2=а2+b213 EMBED Equation.3 14152аb.
Пример № 10.
412 = (40+1)2=1600+1+80=1681.


2.3 Способы извлечения корня.
2.3.1 Приближенное вычисление квадратного корня.
Контрольные работы часто содержат задания, в которых необходим навык приближенного вычисления квадратного корня. Проанализировав, задания ГИА я так же увидел необходимость в рассмотрении данного способа. Вот несколько таких заданий из ГИА.


Для того чтобы выполнить приближенное вычисление квадратного корня, необходимо:
Найти первоначальное целое приближение квадратного корня. Это первая оценка.
Разделить число, из которого извлекается квадратный корень на первую оценку. Это вторая оценка.
Найти разницу между полученными оценками.
Добавить половину этой разности к первой оценке. Это и будет приближенным значением квадратного корня.
*Полученный ответ всегда несколько больше истинного ответа.
Пример №1. Найти приближенное значение 13 EMBED Equation.3 1415.
82<13 EMBED Equation.3 1415<92 13 EMBED Equation.3 1415 первая оценка квадратного корня равна 8.
Найдем вторую оценку: 13 EMBED Equation.3 14153.
Найдем разность между полученными оценками: 8,13 – 8 = 0,13.
Найдем приближенное значение корня: 13 EMBED Equation.3 1415= 8 + 0,13/2 =8 + 0,113 EMBED Equation.3 14158,1

2.3.2 Приближенное вычисление кубического корня.
Для того чтобы выполнить приближенное вычисление квадратного корня, необходимо:
Определить целочисленный интервал единичной длины, содержащий ответ.
Дважды разделить число, из которого извлекается корень, на нижнюю границу интервала.
К нижней границе интервала добавить треть разницы между полученным значением и нижней границей интервала.
Пример №2. Найти приближенное значение 13 EMBED Equation.3 1415.
83 < 618 < 9313 EMBED Equation.3 1415 8 < 13 EMBED Equation.3 1415 < 9.
(618/8)/8 13 EMBED Equation.3 14159,6
9,6 – 8 = 1,6
13 EMBED Equation.3 1415 = 8 +13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 14158+ 0,5513 EMBED Equation.3 14158,55.

3. Применение быстрых способов счета на контрольных
работах и экзаменационных испытаниях.

Рассмотрим несколько заданий.
1)Задание из ГИА часть I.

Решение:
Нам необходимо приближенно оценить 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415. Корень 13 EMBED Equation.3 1415 был рассмотрен выше и его приближенное значение равно 8,1. Оценим 13 EMBED Equation.3 1415 22<13 EMBED Equation.3 1415<32 первая оценка равна 2, найдем вторую оценку: 7/2 =3,53,5 – 2 = 1,513 EMBED Equation.3 1415= 2+1,5/213 EMBED Equation.3 14152,75.
Выполнив, приближенное вычисление корней можно судить о значении выражений и выбрать верный ответ. Наибольшим из, указанных чисел будет ответ – 4.
2)Задание из ГИА часть I.

Найдем квадрат числа, оканчивающегося на 5, по алгоритму: 313 EMBED Equation.3 14154=12дописываем 25, после запятой 3,52=12,25. Далее, воспользовавшись приемами умножения и деления получим 2,5.
3)Задание из ГИА часть 1.
а) Вычислить: 13 EMBED Equation.3 14152,62 = (262/100) воспользуемся правилом возведения в квадрат чисел, которые оканчиваются на 6, получим: 2625252 (если забыли таблицу квадратов, то 252 (213 EMBED Equation.3 14153=6 и дописываем 25) 252 = 625 625 + 25 + 26 = 676 676/100 = 6,76 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 14156, 76.
б) Вычислить: 13 EMBED Equation.3 1415.
Выполним вычисление 1752. По выше описанному способу, отбрасываем 5 и 17 умножаем на следующее за ним число 18, используем способ:
17+8=25
+
2
5




5
6


3
0
6

713 EMBED Equation.3 14158=56, далее



Теперь к полученному результату дописываем 25 30625 1752=30625.
Остается отделить 4 знака, после запятой (-1,75)2=3,062513 EMBED Equation.3 14153,1.
4)Задание из ГИА часть 2.


Чтобы решить данное неравенство нам достаточно осуществить оценку корня (его точное значение не играет роли).
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415- 4,01 < 0 , т.е. исходное неравенство равносильно неравенству 5х + 3 13 EMBED Equation.3 1415 0, х 13 EMBED Equation.3 1415 -0,6.
5) Задача из ЕГЭ В12. Моторная лодка прошла против течения реки 160км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 13 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Решение: в ходе решения задачи, мы приходим к уравнению –
6х2 + 320х - 1014=0, при решении, которого пригодятся навыки быстрого устного счета.
6х2 + 320х - 1014=0 х2 + 53,3х - 169=0D=3485. найдем корень из 13 EMBED Equation.3 1415; воспользуемся приемом извлечения корней:
592<3485<602 59<13 EMBED Equation.3 1415<60
Первая оценка – 59
Найдем вторую: 3485/59=59,06
Найдем разность между оценками: 59,06 – 59 = 0,06.
13 EMBED Equation.3 1415 = 59+0,06/2=59+0,0313 EMBED Equation.3 141559,03.
6) Задача из ЕГЭ В7. Найдите значение выражения 13 EMBED Equation.3 1415. Для решения данного примера потребуется знание формулы сокращенного умножения, признаков делимости и разложение чисел на множители.
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415, далее, чтобы умножить число на 11 к нему приписывается ноль и прибавляется множимое 3213 EMBED Equation.3 141511=320+32=352 13 EMBED Equation.3 1415=352(можно воспользоваться любым способом умножения).






























Заключение

При выполнении учебно-исследовательской работы, я получил глубокие знания в соответствующей области, развил свои творческие способности, навыки исследовательской деятельности, воплотил свои знания и способности в исследовательской работе и мастер – классе.
Так же при выполнении этой исследовательской работы научился решать нестандартные задачи, изучил историю счета, развил свои навыки использования техники быстрого счета. Показал необходимость изучения данного вопроса своим одноклассникам. Однако еще есть материал, который требует проработки. В данной работе не рассматривается способ извлечения квадратного корня методом перекрестного умножения.
Но результаты исследования навыков устного счета учащихся 5-7 классов уже после проведения мастер-класса, показали, что я добился определенных успехов. Полученные знания будут полезными в повседневной жизни на других предметах и при подготовке к ЕГЭ по математике.
Участвуя в различных исследовательских работах человек, воспитывает в себе все те качества, которые пригодятся ему в течение всей жизни, то есть самостоятельность, целеустремленность, трудолюбие и силу воли.


























Список литературы:

Е.И. Игнатьев «Арифметика для всех», 1915
История математики, Наука – М., 1972
Я.И. Перельман «Быстрый счет», Ленинград, 1941
Г.И. Просветов «Быстрый счет: задачи и решения» - М., 2008
В.В. Кочагин «ЕГЭ 2010.Математика: Сборник заданий», - М., 2010









13PAGE 15


13PAGE 14215



память

скорочтение

Устный счет

Рис.3

+

13 EMBED Equation.3 1415

сотни

десятки

единицы

2

3

7

14

8

3

8

3

1+8=9

№1

№ 2

№3

№4

№5

Рис.4

Диаграмма 1.


1.

2.





Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы


Добавить комментарий