Производная тригонометрических, обратных тригонометрических функций


ГККП «Актюбинский медицинский колледж имени
героя Советского Союза Маншук Маметовой»

Утверждаю
Зам. директора
по учебной работе
_____ Куздыбаева А.А.
«_____» ________20_ г.

Методическая разработка теоретического занятия

Предмет: Математика
Тема: Производные тригонометрических функций, обратных
тригонометрических функций.
Специальность: Сестринское дело
Курс: І

Рассмотрено
на заседании
ЦМК «Естественно-
научных дисциплин №1»
Протокол № ___
«___» ________ 20__г
Зав.ЦМК: Садыкова Г.С

Методическая разработка составлена в соответствии с рабочей программой преподавателем: Кулжумуровой Л.К
Методическая разработка теоретического занятия
Тема занятия: Производные тригонометрических функций,
обратных тригонометрических функций.
Цели занятия:
Образовательная- ознакомить студентов с формулами вычисления
производных тригонометрических функций, обратных тригонометрических
функций, закрепить умения и навыки по вычислению производной функции.
Развивающая- развивать математическую речь, внимание, память
мышление, кругозор, интерес к выполняемой работе.
Воспитательная- воспитывать трудолюбие, дисциплинированность,
активность на уроке, чувство ответственности, добросовестности.
Тип занятия: теория
Метод занятия: объяснительно- иллюстративный, частично- поисковый
Время занятия: 90 мин
Место проведения: аудитория
Внутрипредметная связь: таблица производных
Межпредметная связь: тригонометрия
Оснащение занятия: таблица производных, правила нахождения производных
Использованная литература:
основная: А. Абылкасымова. Алгебра и начала анализа.10 клдополнительная: Н.Ш.Кремер.Высшая математика.Москва Юнити 2007г
Студент должен знать: правила дифференцирования
Структурно-логическая схема и хронокарта занятия
І.Организационный момент – 2 мин
ІІ. Опрос домашнего задания– 20 мин
ІІІ. Объяснение нового материала – 35 мин
IV.Закрепление нового материала - 25 мин
V. Подведение итогов занятия – 5 мин
VІ. Задание на дом – 3-мин
Ход занятия
I. Организационный момент
А) преподаватель проверяет подготовленность студентов в аудитории к занятию,
отмечает отсутствующих в журнале
Б) преподаватель дает мотивацию занятия
В) преподаватель знакомит студентов с целью и планом занятия
II. Опрос домашнего задания
Проверка домашнего задания проводится путем устного опроса , решения задач у доски.
Устный опрос
1.Сформулируйте определение производной
2. Перечислите правила нахождения производных
3. Сформулируйте геометрический и физический смысл производной
4. Чему равна производная степенной функции
Решение задач
§16 стр 116-119, Упр А№217.Найти производную функции.
f(x)=(x3-x5+6)7; б) f(x)=(5-3x3+x4)6; в) f(x)=(3x1/2+2x)5; г) f(x)=(8x1/2+4x2)8.
QUOTE 1) fx=x3; 2) fx=x-4; 3) fx=x17 III. Объяснение нового материала
Преподаватель знакомит студентов с темой занятия и с планом изложения материала.
При изложении материала преподаватель использует объяснительно- иллюстративные, частично-поисковые методы обучения методы обучения. Рассказывает студентам о производной тригонометрических функции, о межпредметной связи с физикой.
Тема занятия: Производные тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций.
План
1.Формула производной синуса.
2.Формула производной косинуса, тангенса и котангенса.
3. Производная обратных тригонометрических функций
Производные тригонометрических функций.
Формула производной синуса.
Сначала выведем формулу производной функции у=sinx, используя определение производной, алгоритм ее вычисления.
Докажем, что функция синус имеет производную в любой точке u
(sin x)’ = cos x.
Применяя формулу

находим

Для вывода формулы достаточно показать, что:

при Δx→0. Опираясь на эти утверждения, можно получить формулу (1). Действительно, при Δx→0

Утверждения а) и б), на которые мы опирались выше, имеют наглядный геометрический смысл.

а) Отложим на единичной окружности от точки Р0 в обе стороны дуги Р0А и Р0В длиной |Δx|/2 (рис. сверху) Тогда длина дуги АВ равна |Δx|, а длина хорды AВ равна 2|sin (Δx/2)|. При малых |Δx| длина хорды АВ практически не отличается от длины стягиваемой ею дуги АВ. (Этим фактом вы уже пользовались в курсе геометрии при выводе формулы длины окружности. Действительно, при больших n верно, как известно, приближенное равенство Рn≈С, где Рn — периметр правильного вписанного n-угольника, а С — длина окружности. Значит, длина стороны такого многоугольника приближенно равна длине дуги, которую эта сторона стягивает.) Следовательно,

б) Заметим, что длина хорды АВ меньше длины дуги АВ, т. е.

Воспользовавшись формулой разности косинусов и этим неравенством, находим:

Но |Δx|/2→0 при Δx→0. Поэтому

при Δx→0.
Формула производной косинуса, тангенса и котангенса.
Рассмотрим производную функции y=cosxДокажем, что функции y = cos x, y = tg x, y = ctg x имеет производные в каждой точке своей области определения и справедливы формулы:

Вывод формулы (1) основан на равенствах

и правиле дифференцирования сложной функции:

Чтобы доказать справедливаость формул (2)и (3), применим формулу для нахождения производной частного и выведенные формулы производной синуса и косинуса (1):

Производная дроби равна произведению производной числителя на знаменатель минус произведение числителя на производную знаменателя и частного от деления этой разности на квадрат знаменателя.
Примеры:



Производная обратных тригонометрических функций
К обратным тригонометрическим функциям относятся функции вида:
y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx
arcsinx/=11-x2
arccosx/=-11-x2
arctgx/=11+x2
arcctgx/=-11+x2
IV. Закрепление нового материала
Закрепление материала проводится в виде решения задач по учебнику, выполнения самостоятельной работы, тестовых заданий
Решение задач
№224. Вычислите производную функции
а) f(x)=sinx-cosx; б) f(x)=tgx-4ctgx; в) f(x)=4x-sinx; г) f(x)=6cosx-1,2x
№225. Вычислите производную функции
а) f(x)=cos(x-π/6); б) f(x)=sin(π/4-x); в) f(x)=ctg(π/6+x); г) f(x)=tg(x+π/3).
№226. Вычислите производную функции
а) f(x)=-sin2x-cos2x; б) f(x)=x2+2cosx; в) f(x)=x3-tg4x; г) f(x)=2ctg3x+0,5x4.
№227. Вычислите производную функции
а) f(x)=x/sinx; б) f(x)=cosx/x; в) f(x)=x tgx; г) f(x)=x ctgx.
Самостоятельная работа. Заполнить таблицу.
Найти производную.
Вариант 1. Варианты ответов
у = 2cosх + 5. y = 4cos5 x. у = tg x + ctg x. у = 5sin(5x+2)+6x y = х2 +7х + 5 Вариант 2. y = 2sinх – 5. у = 3sin 2x. у = tg x – ctg x. у =2cos(2-3x)+5x y = 2х2 – 5х + 7 Тестовые задания
1.Дана функция f(x) = х3−5х2+8. Найдите f ′(х)
A) 3х2−5х
B) 3х2−5х+8
C) х3−10хD) 3х2−10х
E) х2−10х+8
2.Найдите производную функции u(х)=(х−5)(2х−5)
A) 4х−15
B) 4х2−15
C) 2х2−15х
D) 4х+15
E) 2х2 −15
3.Найдите если
A)
B)
C) 44(4х+7)10
D)
E)
4.Дана функция f(х)=. Найдите f′ (х)
A)
B)
C)
D)
E)
5.Дана функция у(х)=(1+х)(х−1)+6х4. Найдите у′ (х)
A) х2+24х3
B) 2х+24х3
C) 2х−24х3
D) −2х+24х4
E) х2−24х36.Найдите , если
A)
B)
C)
D)
E)
7.Найдите , если
A) B) C) D) E)
8.Найдите производную функции g(х)= х5+ х3− х4A) 5х4 + 3х2−2х3
B) х4 + х2−2х3
C) х4 +х2−х3
D) х4 + х2−х3
E) х6+х4− х5
9.Найдите производную функции f (х)=
A) B) C) D) E)
10.Дана функция у(х)=.Найдите у′ (х)
A) B) C)
D) E)
11.Дана функция f(х)=.Найдите f ′ (х)
A) B) C) D) E)
12.Найдите f′ (х) если, f(х) = (х3+3)(х2−2)
A) 4х5−6х3+6
B) 5х4−6х2+6х
C) 5х4−6х2+6
D) 4х5+6х3+6х
E) 5х4+6х3+6
13.Дана функция у(х)=(5+)(−5)+ Найдите у′ (х).
A) 1+ B) 1− C) 5+ D) 5− E) 5+
14. Найдите производную f(х) =
A) B) C)
D) E)
15. Найти производную sin2x
A) -2 sin2x cos2x
B) 2 sin2x cosxC) 2 sinx cos2x
D) 2 sin2x cos2x
E) 2sinx cosxV. Подведение итогов занятия
-Комментируются оценки студентам
-Задаются вопросы студентам по пройденной теме
Дать определение производной функции.
Назовите правила вычисления производных.
Какие тригонометрические функции вы знаете, перечислите ?Какие обратные тригонометрические функции вы знаете, перечислите?
Чему равна производная тригонометрических функций?
Чему равна производная обратных тригонометрических функций?
VI.Задание на дом
-Конспект изучить § 17 стр 119-123
№241.Вычислите значение производной функции в точке х0:
а) f(x)=sinx-cosx, x0=π/4; б) f(x)= 3sinx+2cosx, x0=π/3;
в) f(x)=tgx-√3ctgx, x0=π/6; г) f(x)=ctgx-√3/3 tgx, x0=π/3.

Приложенные файлы


Добавить комментарий