Геометрические свойства кривых второго порядка


Цель курсовой работыИсследовать и изучить геометрические свойства кривых второго порядки (эллипса, гиперболы и параболы), представляющих собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершины, а также научиться строить графики данных кривых в канонической и прямоугольной декартовой системах координат.Постановка задачиДано уравнение кривой второго порядка:
.(1)
Задание. Для данного уравнения кривой второго порядка с параметром :
I. Определить зависимость типа кривой от параметра с помощью инвариантов.
II. Привести уравнение кривой при к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.
III. Найти фокусы, директрисы, эксцентриситет и асимптоты (если они есть) данной кривой второго порядка.
IV. Получить уравнения канонических осей в общей системе координат.
V. Построить график кривой в канонической и общей системах координат.
Получение канонической системы координат. Построение графиковI. Тип кривой второго порядка в зависимости от параметра
В прямоугольной декартовой системе координат кривая второго порядка задается в общем виде уравнением:
,
если хотя бы один из коэффициентов , , отличен от нуля.
Для уравнения кривой второго порядка (1) имеем:

Теперь определим тип данной нам кривой (1) с помощью инвариантов. Инварианты кривой второго порядка вычисляются по формулам:
;
;
.
Для данной кривой они равны:
1). Если , то уравнение кривой (1) определяет кривую параболического типа, но . Таким образом, если , то уравнение (1) определяет кривую параболического типа. При этом , то есть: если , то уравнение (1) определяет параболу.
2). Если, то данная кривая — центральная. Следовательно, при данная кривая — центральная.
Если , то уравнение (1) определяет кривую эллиптического типа. Следовательно, если , то данная кривая есть кривая эллиптического типа. Но при этом . В соответствии с признаками кривых второго порядка получим: если, то уравнение (1) определяет эллипс.
Если , то уравнение (1) определяет кривую гиперболического типа. Следовательно, если , то уравнение (1) определяет кривую гиперболического типа.
а) Если и , то уравнение (1) определяет две пересекающиеся прямые. Получим:

Следовательно, если , то уравнение (1) определяет две пересекающиеся прямые.
б) Если и , то данная кривая — гипербола. Но при всех за исключением точки . Следовательно, если , то уравнение (1) определяет гиперболу.
Используя полученные результаты, построим таблицу:
Значение параметра β
Тип кривой Эллипс Парабола Гипербола Две пересекающиеся прямые Гипербола
II. Переход от общего уравнения кривой к каноническомуРассмотрим теперь случай, когда, и исследуем данное уравнение кривой второго порядка с помощью инвариантов. Из вышеприведенной таблицы видим, что при уравнение (1) определяет гиперболу и принимает вид:
(2.1)
Приведем уравнение кривой (2.1) к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.
Мы установили, что данная кривая — центральная, поэтому используем методику приведения к каноническому виду для уравнения центральной кривой. Совершим параллельный перенос начала координат в точку . При этом координаты произвольной точки плоскости в системе координат и координаты в новой системе координат связаны соотношениями

Подставляя эти выражения в уравнение (2.1), получим:
(2.2)
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим:


(2.3)
В уравнении (2.3) коэффициенты при приравняем к нулю. Получим систему уравнений относительно
(2.4)
Решив систему (2.4), получим:

Центр кривой имеет координаты , . Поставим найденные значения в уравнение (2.3). В новой системе координат в уравнении (2.3) коэффициенты при равны нулю и уравнение примет вид
,

.(2.5)
Так как , то дальнейшее упрощение уравнения (2.5) мы достигаем при помощи поворота осей координат на угол . При повороте осей координат на угол координаты произвольной точки плоскости в системе координат и координаты в новой системе координат связаны соотношениями
(2.6)
Подставляя (2.6) в уравнение (2.5), получим

Раскроем скобки и приведем подобные члены

Приводя подобные члены, получим уравнение
(2.7)
Теперь выберем такой угол , что в уравнении (2.7) коэффициент при произведении равен нулю. Получим уравнение относительно синуса и косинуса угла :
.(2.8)
Разделим правую и левую части данного уравнения почленно на . Мы можем это сделать, так как , потому что если (то есть ), то при подстановке в уравнение (2.8) получим, что и , что противоречит основному тригонометрическому тождеству . Получим уравнение
.(2.9)
Решая уравнение (2.9), получим
, .
Зная значение тангенса, можно вычислить значения синуса и косинуса по следующим формулам: , . Подставляя соответствующие значения тангенса, получаем:

Возьмем для определенности . Тогда соответствующие значения синуса и косинуса есть
,(2.10)
Подставляя (2.10) в уравнение (2.7), получаем:

и преобразовав данное уравнение, получим уравнение вида:

И, соответственно, уравнение
(2.11)
— это каноническое уравнение исходной гиперболы.
III. Фокусы, директрисы, эксцентриситет и асимптоты кривойПусть и — фокусы, — эксцентриситет, — центр, а — директрисы данной гиперболы. Известно, что фокусы имеют координаты: , , где и . Для данного уравнения гиперболы (2.11) получаем, что , , и значит . Отсюда получаем , .
Эксцентриситет гиперболы (2.11)
.
Директрисы гиперболы задаются уравнениями: и . Подставляя найденные значения и , получаем:

Прямые и в канонической системе координат называются асимптотами гиперболы. Для данной гиперболы (2.11) асимптоты имеют вид:

IV. Уравнения осей гиперболы в общей системе координатТеперь напишем уравнения осей новой системы в исходной системе координат .
Так как система — каноническая для данной гиперболы, то ее центр находится в центре кривой — , то есть оси и проходят через точку .
В пункте II было установлено, что угловой коэффициент оси .
Уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом , имеет вид . Следовательно, ось в системе координат задана уравнением , или , где в роли точки выступает центр гиперболы точка .
Так как ось перпендикулярна оси , то ее угловой коэффициент . Следовательно, ось в системе координат задана уравнением , или .
V. Построение графиков гиперболыИспользуя полученные в ходе выполнения задания данные, построим гиперболу (2.1) в исходной системе координат (см. рис. 1) и гиперболу (2.11) в канонической системе координат (см. рис. 2).

Рисунок 1.

Рисунок 2.
ВыводТаким образом, из вышеприведенного решения видим, что с помощью инвариантов можно отследить тип кривой второго порядка с параметром , а используя параллельный перенос и поворот осей координат, можно привести кривую второго порядка от общего вида к каноническому.
Список используемой литературы1. Л.В. Бобылева, Л.С. Брюхина. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Исследование кривых второго порядка.— Дубна: Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 2003.2. Ильин В. А., Позняк Г. Д. Аналитическая геометрия. — М.: Физматлит , 2002.
3. М.Я. Выгодский. Справочник по высшей математике.— М: Наука, 1966.
4. А.В. Ефремов, Б.П. Демидович. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа (Ч. 1). — М.: Наука, 1993.

Приложенные файлы


Добавить комментарий