Презентация По Математике Иррациональные уравнения и неравенства


Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации:

ИррациональныеУравнения и Неравенства. Иррациональным уравнением, называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень.К простейшим иррациональным уравнениям относятся уравнения вида: 𝐴(𝑥)=𝐵𝑥,    𝐴(𝑥)=𝐵(𝑥).  Пример 1. Решить уравнение 5−4𝑥=2𝑥+5  Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степеньРешение. Возведем обе части этого уравнения в квадрат (5−4𝑥)2=(2𝑥+5)2  и получим 5-4x=4𝑥2+20x+25⟺4𝑥2+24𝑥+20=0⟺𝑥2+6𝑥+5=0 , Откуда следует, что 𝑥=−5    или    𝑥=−1Проверка. :𝑥=−5: 5−4∗−5=2∗−5+5⟺25=−5. Это неверное числовое равенство, значит, число  не является корнем данного уравнения.𝑥=−1: 5−4∗−1=2∗−1+5⟺9=3  Это верное числовое равенство, значит, число  является корнем данного уравнения.Ответ. x=−1 Место для формулы.  Пример 2. Решить уравнение 𝑥+2𝑥+3=6 Решение. Метод уединения радикала приводит к уравнению 2𝑥+3=6−𝑥, это уравнение равносильно системе 2𝑥+3=(6+𝑥)26−𝑥≥0Решая первое уравнение этой системы, получим корни 𝑥1=11 и 𝑥2=3, но условие 6−𝑥≥0 выполняется только для 𝑥=3.Ответ. 𝑥=3 Метод уединения радикала Пример 3. Решить уравнение 𝑥2−𝑥+2+𝑥2−𝑥−7=2𝑥2−2𝑥+21Решение. Положив 𝑢=𝑥2−𝑥, получим существенно более простое иррациональное Уравнение 𝑢+2+𝑢+7=2𝑢+21. Возведем обе части уравнения в квадрат: (𝑢+2+𝑢+7)2=(2𝑢+21)2.Далее последовательно получаем: 𝑢+2+2𝑢+2𝑢+7+𝑢+7=2𝑢+21 𝑢+2𝑢+7=36 𝑢2+9𝑢+14=36 𝑢2+9𝑢-22=0 𝑢1=2    𝑢2=−11 Проверка найденных значений их подстановкой в уравнение 𝑢+2+𝑢+7=2𝑢+21 показывает, что 𝑢1=2  – корень уравнения, а 𝑢2=−11– посторонний корень.Возвращаясь к исходной переменной 𝑥, получаем уравнение 𝑥2−𝑥=2, то есть квадратное уравнение 𝑥2- x- -2=0, решив которое находим два корня: 𝑥1=2,  𝑥2=−1.Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.Ответ: 𝑥1=2; 𝑥2=−1. Метод введения новой переменной. Пример 4 . Решить уравнение. 3𝑥+45−3𝑥−16=1 .Сделаем замену:3𝑥+45=𝑎3𝑥−16=𝑏  ⟹𝑥+45=𝑎3𝑥−16=𝑏3  ⟹𝑥=𝑎3−45𝑥=𝑏3+16Поскольку левые части обоих равенств одинаковы, мы вправе приравнять их правые части: 𝑎3−45=𝑏3+16 𝑎3−𝑏3=61Второе уравнение системы получим, выполнив замену в уравнении: 𝑎−𝑏=1Решим систему: 𝑎3−𝑏3=61𝑎−𝑏=1⟹𝑎−𝑏𝑎2+𝑎𝑏+𝑏2=61𝑎−𝑏=1 ⟹𝑎2+𝑎𝑏+𝑏2=61𝑎−𝑏=1 ⟹ 𝑎=𝑏+13𝑏2+3𝑏−60=0Решим уравнение: 𝑏2+𝑏−20=0D=12−4∗1∗−20=81>0𝑏1=−1−92 ;    𝑏1=−5                                              𝑏2=−1+92; 𝑏2=4  𝑎1=−5+1;   𝑎1=− 4𝑎2=4+1;  𝑎2=5Система имеет два решения: (-4;-5) (5;4).Выполним обратную замену:𝑎1=−4 ;  𝑏1=5 x= (−4)3−45=−64−45=−109 x= (−5)3+16=−125+16=−109Таким образом, 𝑥1=−109Решение для a и b должны были получиться одинаковыми.𝑎2=5; 𝑏2=4 x=53−45=125−45=80 𝑥=43+16=64+16=80 𝑥2=80Сделаем проверку, хотя ОДЗ уравнения – множество всех действительных чисел, а в процессе решения мы не прибегали к преобразованиям, которые могли бы привести к появлению посторонних корней.𝑥1=−1093109+45=3−109−16=3−64−3125=−4−−5=1𝑥2=80380+45−380−16=3125−364=5−4=1Ответ: -109 ; 80.  Пример 5. Решить уравнение 𝑥=(1+𝑥+1)(10+𝑥−4). Решение. Умножим обе части уравнения на функцию h𝑥=1+𝑥−1. После преобразований получим уравнение𝑥1+𝑥−10+𝑥+3=0.Оно имеет два корня: 𝑥1=0   𝑥2=1. Проверка показывает, что 𝑥1=0 – посторонний корень (нетрудно видеть, 𝑥=0 – корень функции h𝑥). Таким образом, уравнение имеет единственный корень 𝑥=−1.Ответ: 𝑥=−1. Умножение обеих частей уравнения на функцию. Использование монотонности функцииПример 6. 7𝑥+9+15𝑥+1=9−2𝑥−1.Решение. Это уравнение можно попытаться решить возведением в квадрат (трижды!). Однако при этом получится уравнение четвертой степени. Попробуем угадать корень. Это сделать нетрудно: 𝑥=1. Теперь заметим, что левая часть уравнения – возрастающая функция, а правая – убывающая. Но это значит, что больше одного корня такое уравнение иметь не может. Итак, 𝑥=1 – единственный корень.Ответ: 𝑥=1.  . Пример 7. Решить уравнение 3𝑥−2𝑥2=4.Решение. При первом же взгляде на это уравнение возникает мысль избавиться от корня с помощью «преобразования» 𝑥2=𝑥. Но это неверно, так как при отрицательных значениях x оказывалось бы, что 𝑥2<0. Здесь необходимо применить формулу𝑥2=𝑥. Уравнение теперь легко решается3𝑥−2𝑥2=4⇆⟺3𝑥−2𝑥=4⟺𝑥=4⟺𝑥=±4.Ответ. 𝑥=±4.Рассмотрим «обратное» преобразование. . Тождественные преобразования при решении иррациональных уравнений Неравенство, в котором неизвестное или рациональная функция от неизвестного содержится под знаком радикала, называется иррациональным неравенством.Наиболее простые иррациональные неравенства имеют вид:1)  𝐴(𝑥)<𝐵(𝑥) или 𝐴(𝑥)≤𝐵(𝑥);2)  𝐴(𝑥)>𝐵(𝑥) или 𝐴(𝑥)≥𝐵(𝑥);3)  𝐴(𝑥)>𝐵(𝑥) или 𝐴(𝑥)≥𝐵(𝑥).  Иррациональное неравенство 𝐴(𝑥)<𝐵(𝑥)  или 𝐴(𝑥)≤𝐵(𝑥)      равносильно системе неравенств𝐴𝑥<𝐵2𝑥𝐴𝑥≥0𝐵(𝑥)≥0 или 𝐴𝑥≤𝐵2𝑥𝐴𝑥≥0𝐵(𝑥)≥0.                               Иррациональное неравенство 𝐴(𝑥)>𝐵(𝑥) или 𝐴(𝑥)≥𝐵(𝑥) равносильно совокупности двух систем неравенств𝐴𝑥>𝐵2𝑥𝐵𝑥≥0𝐴𝑥≥0𝐵𝑥<0 или 𝐴𝑥≥𝐵2𝑥𝐵𝑥≥0𝐴𝑥≥0𝐵𝑥≤0 (2) Иррациональное неравенство 𝐴(𝑥)>𝐵(𝑥) или 𝐴(𝑥)≥𝐵𝑥   равносильно системе неравенств 𝐴(𝑥)>𝐵(𝑥)𝐵(𝑥)≥0 или 𝐴(𝑥)≥𝐵(𝑥)𝐵(𝑥)≥≥0.                              (3) Схемы (1)–(3) – основной инструмент при решении иррациональных неравенств, к ним сводится решение практически любой задачи.Метод сведения к эквивалентной системе или совокупности рациональных неравенств Пример 8. Решить неравенство 3𝑥−9>−5.Решение.Правая часть данного неравенства отрицательна, а левая часть исходного неравенства неотрицательна при всех значениях x, при которых она определена. Это означает, что левая часть больше правой части при всех значениях x, удовлетворяющих условию 𝑥≥3.Ответ. 𝑥∈3;+∞). Метод сведения к эквивалентной системе или совокупности рациональных неравенств Пример 9.Решить неравенство−94𝑥+𝑥+18≥0.Решение. Перепишем исходное уравнение .−94𝑥+(4𝑥)2+18≥0Сделаем замену 𝑡=4𝑥, 𝑡≥0. Тогда получим−9𝑡+𝑡2+18≥0𝑡≥0⟺𝑡≥6𝑡≤3𝑡≥0  ⟺𝑡≥60≤𝑡≤3Таким образом, для определения x получаем совокупность неравенств4𝑥≥60≤4𝑥≤3  ⟺𝑥≥640≤𝑥≤34   ⟺𝑥≥12960≤𝑥≤81Ответ. 𝑥∈0;81∪1296;+∞. Метод введения новой переменной СпасибоЗаВнимание

Приложенные файлы


Добавить комментарий