Методическая разработка лекции на тему:Целые, рациональные и действительные числа. Приближенное значение величины и погрешности приближений. Комплексные числа.


Профессионально – педагогический колледж
Государственного образовательного учреждения высшего образования Московской области
«Государственный гуманитарно – технологический университет»
Методическая разработка урока
на тему: «Целые, рациональные и действительные числа. Приближенное значение величины и погрешности приближений. Комплексные числа»
Разработала преподаватель математики
Азовцева Мария Андреевна

Г. Орехово-Зуево, 2017 год
Цели занятия:
Должен уметь:
Выполнять арифметические действия над числами. Решать задачи.
Находить приближенные значения величин и погрешностей вычислений. Применять практические приемы приближенных вычислений.
Выполнять действия над комплексными числами; представлять комплексные числа в тригонометрической и показательной формах; находить модуль и аргумент комплексного числа.
Должен знать:
Определение и свойства натуральных и целых чисел. Рациональные числа и его свойства. Иррациональные числа.
Приближенные значения. Погрешность приближения. Абсолютная и относительная погрешности приближения и их границы.
Определение комплексного числа, понятие равенства и действия сложения и умножения комплексных чисел, модуль и аргумент комплексного числа.
Ход занятия
Целые, рациональные и действительные числа.
Определение. Натуральные числа – это числа вида N={1, 2, 3, …,}. Натуральные числа появились в связи с необходимостью подсчета предметов.
Определение. Натуральные числа, числа, противоположные натуральным, и нуль составляют множество Z целых чисел.
Свойства натуральных и целых чисел:
- переместительный закон сложения;
- сочетательный закон сложения;
- переместительный закон умножения;
- сочетательный закон умножения;
- распределительный закон умножения относительно сложения.
Определение. Рациональные числа – это числа, представимые в виде дроби где - целое число, а - натуральное число. Для обозначения рациональных чисел используется латинская буква . Все натуральные и целые числа – рациональные.
Примеры рациональных чисел:
Свойства рациональных чисел.
;
;


;
;
;

где

Определение. Действительные числа (вещественные) – числа, которые применяются для измерения непрерывных величин. Множество действительных чисел обозначается латинской буквой . Действительные числа включают в себя рациональные и иррациональные числа. Иррациональные числа – числа, которые получаются в результате выполнения различных операций с рациональными числами (н-р, извлечение корня, вычисление логарифмов), но при этом не являются рациональными. Примеры иррациональных чисел:
Любое действительное число можно отобразить на числовой прямой.

Вывод: Для перечисленных выше множеств чисел справедливо следующее высказывание:

то есть, множество натуральных чисел входит во множество целых чисел. Множество целых чисел входит во множество рациональных чисел. А множество рациональных чисел входит во множество действительных чисел.
Модуль действительного числа обозначается и определяется так же, как и модуль рационального числа:

Свойства модулей:
,








Приближенные значения. Абсолютная и относительная погрешности.
Приближенное значение величины. Абсолютная погрешность приближения. Граница абсолютной погрешности.
Пусть результат измерения или вычисления величины с некоторой точностью равен . Тогда называется приближенным значением (или приближением) величины . Причем, если то называется приближенным значением с недостатком (или приближением снизу), а если то называется приближенным значением с избытком (или приближением сверху) величины .
Определение. Разность точного и приближенного значений величины называется погрешностью приближения.
Так, если - точное значение, - приближенное значение, то разность - погрешность приближения. Если ее обозначим через то получим

т.е. истинное значение равно сумме приближенного значения и погрешности приближения.
Модуль разности точного и приближенного значений величины называется абсолютной погрешностью приближения.
Следовательно, если - погрешность приближения, то - абсолютная погрешность приближения.
Во многих практически важных случаях нельзя найти абсолютную погрешность приближения из-за того, что неизвестно точное значение величины. Однако можно указать положительное число, больше которого эта абсолютная погрешность быть не может.
Определение. Любое положительное число, которое больше или равно абсолютной погрешности, называется границей абсолютной погрешности.
Следовательно, если - точное значение, - приближенное значение, то разность - погрешность приближения, то любое число , удовлетворяющее неравенству является границей абсолютной погрешности. В этом случае говорят, что величина приближенно с точностью до равна , и пишут
с точностью до
или Запись означает, что истинное значение величины заключено между границами и т. е.

Если известно, что является приближенным значением величины , и требуется определить границу абсолютной погрешности этого приближенного значения, то эту задачу обычно формулируют так: «Определить (найти) точность приближенного равенства ».
Относительная погрешность. Граница относительной погрешности.
Определение: Отношение абсолютной погрешности приближения к модулю приближенного значения величины называется относительной погрешностью приближения.
Следовательно, если - точное значение, - приближенное значение, то отношение

является относительной погрешностью приближения.
Относительную погрешность часто выражают в процентах.
В отличие от абсолютной погрешности, которая чаще всего бывает размерной величиной, относительная погрешность является безразмерной величиной.
Определение. Любое положительное число, которое больше или равно относительной погрешности, называется границей относительной погрешности.
Следовательно, если - погрешность приближения, то любое число , удовлетворяющее неравенству

является границей относительной погрешности. В частности, если - граница абсолютной погрешности, то число

является границей относительной погрешности приближения Отсюда, зная границу относительной погрешности, можно найти границу абсолютной погрешности:

Комплексные числа
Как известно из школьного курса, уравнение вида не имеет действительных корней, но существует необходимость решать уравнения такого вида. Для этого придумали так называемые «комплексные числа».
Для определения комплексных чисел сначала введем некоторый символ i, который назовем мнимой единицей. Этому символу приписывается свойство удовлетворять уравнению : , или При этом
.
Комплексным числом z называется выражение , где a и b – действительные числа. При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b – мнимой частью (b = Im z).
Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным.
Числа и называются комплексно-сопряженными.
Два комплексных числа и называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:
Множество комплексных чисел – неупорядоченное множество, т.е. из двух комплексных чисел нельзя указать последующее и предыдущее. Между двумя комплексными числами нельзя поставить знаки неравенства > или <.
Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части:
Действия над комплексными числами.
1)
2)
3) или

Запись числа в виде z=x+yi называют алгебраической формой комплексного числа.
Запись числа z в виде или называют показательной формой комплексного числа.
Контрольные вопросы
Определение и свойства натуральных и целых чисел.
Рациональные числа и его свойства.
Иррациональные числа.
Приближенные значения.
Погрешность приближения.
Абсолютная и относительная погрешности приближения и их границы.
Определение комплексного числа
Понятие равенства
Действия над комплексными числами

Приложенные файлы


Добавить комментарий