Предпрофильный курс по математике в 9 классеДеление многочленов. Теорема Безу.


Программа



Учебного курса предпрофильной подготовки

«Деление многочленов.
Теорема Безу».


для учащихся 9 –х классов

Содержание

1.Пояснительная записка:
основные идеи программы;
обоснованность программы ( актуальность, новизна, значимость);
цели;
задачи
основные принципы;
планируемый результат;

2.Основное содержание элективного курса
Описание теоретической и практической части по темам

3. Ожидаемый результат обучения

4. Методический инструментарий (формы, методы, приемы, средства обучения)

5.Методический аппарат(рекомендации, инструкции, информационное обеспечение программы).

6.Приложения.

















1.Пояснительная записка.

Программа «Деление многочленов. Теорема Безу» была разработана мною в 2004 году для элективного курса в 9-м классе. Эта тема выбрана мною неслучайно. Многочлены занимают важное место в курсе математики, имеют широкое применение. Учащиеся умеют складывать, вычитать и умножать многочлены. Но для решения многих задач повышенного уровня необходимо научиться делить многочлены. Важную роль в самой теории многочленов имеет теорема Безу и ее следствия. Теорема Безу и ее следствия помогают решать уравнения высших степеней, с которыми учащиеся часто встречаются на уроках алгебры и на экзаменах.
Данная тема углубляет и расширяет знания учащихся по алгебре, развивает интерес к математике, формирует знания и навыки для изучения более сложных тем и вопросов, готовит к сдаче ЕГЭ И к вступительным экзаменам в различные учебные заведения.
Цели и задачи:
Цель: научиться выполнять деление многочленов, сформировать умения применять теорему Безу и ее следствия при решении задач.
Задачи.
Познакомиться с различными способами деления многочленов.
Познакомиться с биографией Этьена Безу
Изучить теорему Безу, ее следствия, рассмотреть примеры применения теоремы Безу.

2.Содержание обучения.
Многочлен с одной переменной. Значение и корни многочленов. Деление многочленов с остатком и нацело. Метод неопределенных коэффициентов. Деление многочленов «Уголком». Схема Горнера. Теорема Безу и ее следствия.
Курс рассчитан на 10 уроков.

3.Ожидаемый результат.
Учащиеся должны уметь:
Уметь делить многочлены различными способами.
Находить корни многочлена.
Применять теорему Безу и ее следствия.
Учащиеся должны знать.
Определение многочлена от одной переменной,
Формулировку теоремы о делении многочлена на многочлен.
Формулировку теоремы Безу.
Следствия теоремы Безу.
Свойства делимости многочленов.
Определение корня многочлена.
Утверждение о корне многочлена.








4.Методический инструментарий
Урок №1
Тема: Многочлен от одной переменой . Теорема о делении многочлена на многочлен.
Урок лекция
Цель: сформировать понятие о многочлене от одной переменной, познакомить с теоремой о делении многочленов, со свойствами делимости многочленов.

План урока:

1.Определение многочлена. Канонический (стандартный) вид многочлена
(Многочлен 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415, действительные числа и 13 EMBED Equation.3 1415(0,называют многочленом , представленном в каноническом виде.)
2. Тождественно равные многочлены.
3.Теорема о делении многочлена на многочлен.
4.Свойства делимости многочленов
5. Деление многочленов с остатком

Закрепление
1.Запишите в стандартном виде
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
2.При каких значениях параметра a многочлен 13 EMBED Equation.3 1415 является
а) приведенным,
б) многочленом четвертой степени,
в)многочленом третьей степени,
г)тождественно равным многочлену 13 EMBED Equation.3 1415?

Урок №2
Тема Тождественно равные многочлены
Урок закрепления знаний
Цель: Повторить правила умножения, сложения, вычитания многочленов, закрепить их в ходе выполнения упражнений повышенного уровня. Научиться применять свойства делимости многочленов.

Ход урока:

1.Устная работа
По данному стандартному виду многочлена найдите его степень, назовите все его коэффициенты. Найдите значения многочленов при заданных значениях х.

а) 13 EMBED Equation.3 1415, при х=-3;1;0
б)13 EMBED Equation.3 1415при х=-1;3;1
2. Выполнение упражнений
Работая в группах, выполните задания
Докажите тождество:13 EMBED Equation.3 1415
Упростите выражение 13 EMBED Equation.3 1415 Ответ:13 EMBED Equation.3 1415
Найдите числа a и b из тождественного равенства 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ a=1,b=1
Выпишите все приведенные многочлены, являющиеся делителем многочлена 13 EMBED Equation.3 1415
Решения упражнений обсуждается и проверяется совместно с учителем.
Домашнее задание :
Доказать, что 13 EMBED Equation.3 1415 есть полный квадрат.
Найдите числа a и b из тождественного равенства:13 EMBED Equation.3 1415
Запишите многочлены третьей степени, являющиеся делителями многочлена 13 EMBED Equation.3 1415
В парах подготовить материал для следующего урока
1.Деление многочлена на многочлен «Столбиком» (уголком)
2.Деление многочленов методом неопределенных коэффициентов.
3.Дедение многочленов по схеме Горнера.

Урок 3
Тема: Способы деления многочленов.
Урок ознакомления с новым материалом.
Цель: научиться делить многочлен на многочлен «Уголком», способом неопределенных коэффициентов», по схеме Горнера.

Ход урока

Проверка домашнего задания.
Ответы на возникшие вопросы учащихся. Решение заданий записано на слайдах.
Изучение нового материала.
Учащиеся знакомят своих товарищей с различными методами деления многочленов.
1.Деление многочлена на многочлен «Столбиком» (уголком)
2.Деление многочленов методом неопределенных коэффициентов.
3.Дедение многочленов по схеме Горнера.
Учитель рецензирует выступления учащихся.
Итог урока: сравнить все методы, выбрать для себя тот, который более рациональный и приемлемый для каждого ученика.

Урок 4
Тема: способы деления многочленов.
Урок -семинар
Цель: закрепить умения и навыки деления многочленов различными способами.

Ход урока.

1.Работая в парах выполнить следующие упражнения:
Разделить «Уголком»
а) многочлен 13 EMBED Equation.3 1415 на многочлен 13 EMBED Equation.3 1415 Ответ:13 EMBED Equation.3 1415
в) многочлен 13 EMBED Equation.3 1415на многочлен 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

2.Применяя схему Горнера, найдите частное и остаток от деления многочлена а)13 EMBED Equation.3 1415на многочлен 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
в)13 EMBED Equation.3 1415 на многочлен 13 EMBED Equation.3 1415 Ответ: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

3.Многочлен 13 EMBED Equation.3 1415делится нацело на многочлен 13 EMBED Equation.3 1415
Методом неопределенных коэффициентов найдите частное от деления Многочлена 13 EMBED Equation.3 1415на многочлен 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ 13 EMBED Equation.3 1415

Домашнее задание:

1.Разобрать методы деления многочленов.
2. Найти частное т остаток от деления многочлена Р(ч) на многочлен Q(x) по схеме Горнера, «Уголком», «Методом неопределенных коэффициентов», если 13 EMBED Equation.3 1415
3.Найти частное т остаток от деления многочлена Р(ч) на многочлен Q(x) «Уголком», «Методом неопределенных коэффициентов», если13 EMBED Equation.3 1415

Урок №5
Тема: Теорема Безу
Урок применения знаний и умений
Цель: Сформулировать и доказать теорему Безу, научиться применять теорему

Ход урока

1.Проверка домашнего задания . Взаимопроверка.
2.Самостоятельная работа по изученному материалу:
1.Выполнить деление с остатком «Уголком» 13 EMBED Equation.3 1415на х+2
2.Выполнить деление с остатком методом неопределенных коэффициентов.
13 EMBED Equation.3 1415на13 EMBED Equation.3 1415
3.Выполните деление многочленов по схеме Горнера13 EMBED Equation.3 1415на х-1
3. Изучение нового материала
1.Познакомиться с биографией Этьена Безу
2.Изучить теорему Безу, ее следствия, рассмотреть примеры применения теоремы Безу.
3Утверждение о корнях многочлена
Закрепление:
1.Найти остаток от деления многочлена x3-3x2+6x-5 на двучлен x-2.
(Решение :По теореме Безу: R=f(2)=23-322+62-5=3.Ответ: R=3.

2.При каком значении a многочлен x4+ax3+3x2-4x-4 делится без остатка на двучлен x-2?
Решение: По теореме Безу: R=f(2)=16+8a+12-8- 4=8a+16.
Но по условию R=0, значит 8a+16=0, отсюда a=-2.Ответ: a=-2.

3.При каких значениях a и b многочлен ax3+bx2-73x+102 делится на трёхчлен x2-5x+6 без остатка?
Решение: Разложим делитель на множители: x2-5x+6=(x-2)(x-3).
Поскольку двучлены x-2 и x-3 взаимно просты, то данный многочлен делится на x-2 и на x-3, а это значит, что по теореме Безу:
R1=f(2)=8a+4b-146+102=8a+4b-44=0
R2=f(3)=27a+9b-219+102=27a+9b-117=0
Решу систему уравнений:
8a+4b-44=0
27a+9b-117=0
Отсюда получаем: a=2, b=7.Ответ: a=2, b=7.

4.Найдите значение многочлена 13 EMBED Equation.3 1415при х=7.
Решение: Согласно теоремы Безу 13 EMBED Equation.3 1415равен остатку
Найдем остаток по схеме Горнера
2 -4 0 -1 0 1
+14 70 490 3423 23961
7 2 10 70 489 3423 23962
Ответ: 23962

Урок№6
Тема: Следствия из теоремы Безу
Урок применения знаний, умений и навыков
Цель: научиться применять следствия из теоремы Безу

Ход урока:
Устная работа:
Сформулируйте теорему Безу. Докажите , что многочлен 13 EMBED Equation.3 1415делится без остатка на двучлен х-2
Решение: согласно теоремы Безу остаток равен значению многочлена при х=2. 13 EMBED Equation.3 1415 Ответ: Многочлен 13 EMBED Equation.3 1415делится без остатка на двучлен (х-2)
Изучение нового материала.
Материал изучается учащимися в парах по дополнительной литературе. В течение 20мин каждая пара учащихся изучает одно из следствий, выполняет упражнение на применение следствия. Затем знакомят с новым материалом всех остальных учащихся. Роль учителя - оказывать помощь в разборе следствий, рецензировать ответы.
Задание 1 паре: 1 следствие из теоремы Безу.
Многочлен 13 EMBED Equation.3 1415делится на х-а тогда и только тогда, когда число а является корнем многочлена 13 EMBED Equation.3 1415
Пример: Доказать, что многочлен 13 EMBED Equation.3 1415делится на х-1
Решение: Так как Р(1)=1-15+37-16-7+0, то по следствию 1 многочлен
13 EMBED Equation.3 1415 делится на х-1
Задание: Проверить делимость нацело многочлена Р(х) на Q(x)
13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415

Задание 2 паре: 2 следствие из теоремы Безу.
Многочлен 13 EMBED Equation.3 1415делятся на (х-
·) при любом натуральном n, причем
13 EMBED Equation.3 1415
Пример: Разделить многочлен 13 EMBED Equation.3 1415 на х-2
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415По следствию 2 имеем
13 EMBED Equation.3 1415
Задание:
1.Разделить 13 EMBED Equation.3 1415на х-3
2. Доказать, что при любом натуральном n число 13 EMBED Equation.3 1415делится на 7

Задание 3 паре: 3 следствие из теоремы Безу.
Многочлен 13 EMBED Equation.3 1415делится на х+
· при любом натуральном n, причем
13 EMBED Equation.3 1415
Задание: разделить многочлен 13 EMBED Equation.3 1415на х+а

Домашнее задание:
1.Используя теореме Безу, проверьте делимость нацело многочлена 13 EMBED Equation.3 1415 на х-3
2. Разложите на множители
а)13 EMBED Equation.3 1415,
б)13 EMBED Equation.3 1415,
в)13 EMBED Equation.3 1415,
г)13 EMBED Equation.3 1415

Урок №7
Тема Утверждения о корнях многочлена
Урок –лекция
Цель: Рассмотреть утверждения о корнях многочлена, научить применять эти утверждения в ходе решения алгебраических задач.

Ход урока:
1.Проверка домашнего задания.
Сформулировать теорему Безу и ее седствия.
Выяснить, делится ли нацело многочлен 13 EMBED Equation.3 1415на многочлен х-1. Если не делится нацело, найдите остаток от деления.
Сократите дробь 13 EMBED Equation.3 1415
3.Изучение нового материала
Утверждения о корнях многочлена.
Способы отыскания рациональных корней многочлена.
Примеры решения уравнений высших степеней.

Урок №8
Применения теоремы Безу и методов деления многочленов
Урок закрепления знаний. Работа в группах
Цель: рассмотреть различные случаи применения теоремы Безу, отработать умения и навыки решения уравнений высших степеней.

Ход урока:
1.Фронтальный опрос:
Объясните метод деления многочленов «Уголком»
Объясните деление многочленов методом неопределенных коэффициентов.
Объясните схему Горнера
Сформулируйте теорему Безу и ее следствия.
Сформулируйте утверждения о корне многочлена.
2.Изучение нового материала.
Пример1
Разложить многочлен Р(х) =13 EMBED Equation.3 1415 на множители
Решение: методом подбора найдем корень многочлена. Это число1, т.к Р(1)=0
По следствию из теоремы Безу многочлен делится на (х-1)
Разделим данный многочлен на х-1 «Уголком»

13 EMBED Equation.3 1415 х-1
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
0

Корнем многочлена 13 EMBED Equation.3 1415 является число -2,так как его значение при х=-2 равно 0, значит, многочлен делится на (х+2)
Проведем деление по схеме Горнера

5 14 12 8

-10 -8 -8
-2 5 4 4 0
Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415=(х+2)13 EMBED Equation.3 1415
Разложим на множители трехчлен 13 EMBED Equation.3 1415
Т.к.. D=-24, то квадратный трехчлен корней не имеет, на линейные множители не разложить.
Ответ:13 EMBED Equation.3 1415+(х-1)(х+2) 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2
Разложить на множители многочлен f(x)=x4+4x2-5.
Среди делителей свободного члена число 1 является корнем данного многочлена f(x), а это значит, что по следствию из теоремы Безу f(x) делится на (x-1) без остатка. Разделим многочлен на многочлен любым из изученных методов.
x4+4x2-5. =(x-1)(x3+x2+5x+5).
Среди делителей многочлена x3+x2+5x+5 число -1 является его корнем, а это значит, что по следствию из теоремы Безу x3+x2+5x+5 делится на (x+1) без остатка.
x3+x2+5x+5+(x+1)(x2+5)
Отсюда f(x)=(x-1)(x+1)(x2+5).
Многочлен (x2+5) на множители не раскладывается, т.к. действительных корней не имеет, поэтому f(x) далее на множители не раскладывается.
Ответ: x4+4x2-5=(x-1)(x+1)(x2+5).

Пример 3
Решить уравнение x4+3x3-13x2-9x+30=0.
Разложим левую часть уравнения на множители
По утверждениям о корнях многочлена корнями многочлена могут быть числа 1; 2, 3, 5, 6, 10.Найдем корень многочлена по следствию из теоремы Безу. Это число 2. Разделим многочлен на (х-2)
Получим
(x-2)(x3+5x2-3x-15)=0
Корнем многочлена x3+5x2-3x-15явлется число -5, разделим его на многочлен (х+5)
Получим (x-2)(x+5)(x2-3)=0
Ответ: 2,-5, 13 EMBED Equation.3 1415.-13 EMBED Equation.3 1415
Пример 4
Решить уравнение x6+x5-7x4-5x3+16x2+6x-12=0.
Посмотрев на уравнение, сразу можно сказать, оно имеет не более 6 корней уравнения.
-12 1; 2; 3; 4; 6; 12.
Корнем многочлена x6+x5-7x4-5x3+16x2+6x-12 является число 1, значит, многочлен делится на (х-1) Разделим любым способом деления многочленов, получим
x6+x5-7x4-5x3+16x2+6x-12=(x-1)(x5+2x4-5x3-10x2+6x+12)=0
Корнем многочлена x5+2x4-5x3-10x2+6x+12 является число -2, значит, многочлен делится на (х+2).
x6+x5-7x4-5x3+16x2+6x-12=(x-1)(x+2)(x4-5x2+6)=0
x4-5x2+6=0 - биквадратное уравнение, x1,2=, x3,4=.13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 1, 2, 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415
Пример 5
Решить уравнение x3-5x2+8x-6=0.
Корнями уравнения могут быть числа: -6 1; 2; 3; 6.
Корень- число3, значит многочлен делится на (х+3)
x3-5x2+8x-6=(x2-2x+2)(x-3)=0
x2-2x+2=0 - квадратное уравнение, корней не имеет, т.к. D<0.
Ответ: 3.


Пример 6
Решить уравнение 6x3+11x2-3x-2=0.
-2 1; 2.
6x3+11x2-3x-2=(6x2-x-1)(x+2)=0
6x2-x-1=0 - квадратное уравнение, x1=, x2=-
Ответ: -2, 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415

Домашнее задание
1.Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 Ответ:5
2.Разложить на множители
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Урок 9-10
Тема Многочлены. Теорема Безу
Форма урока- урок соревнование .Игра «Математический бой»
Цель: систематизировать оценить знания по курсу
Все учащиеся делятся на две команды.
1 урок команды выполняют задание.
2урок проходит «Сражение»

Задание для игры

1.Разложить на множители, используя метод неопределенных коэффициентов, многочлен 13 EMBED Equation.3 1415
2.Разложить на множители многочлен 13 EMBED Equation.3 1415
3.Найдите целые корни многочлена 13 EMBED Equation.3 1415
4.При каких значениях а и в многочлен 13 EMBED Equation.3 1415делится без остатка на (х+3), а при делении на (х-2) дает остаток , равный 5
5.Найдите наибольшее значение параметра а, при котором уравнение 13 EMBED Equation.3 1415=0 с целыми коэффициентами имеет три различные корня, один из которых равен -2

5.Методический аппарат
Список литературы:
1.М.Л. Галицкий «Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа». Пособие для учителя. М. «Просвещение». 1986г.
2. Н.Я. Виленкин. «Алгебра и математический анализ» для 10 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М. «Просвещение». 1995г.
3. В.В. Вавилов. «Задачи по математике»». Алгебра. Справочное пособие. М. «Наука», 1988г.
4. «Математика» учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября» №1 1998г.
5. Контрольно- измерительные материалы по ЕГЭ

Приложение
Справочный материал
Этьен Безу
Этьен Безу - французский математик, член Парижской Академии Наук (с 1758 года). Родился в Немуре 31 марта 1730 года и умер 27 сентября 1783 года. С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768 года и в королевском артиллерийском корпусе. Основные работы Этьена Безу относятся к высшей алгебре, они посвящены созданию теории решения алгебраических уравнений. В теории решения систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории определителей, развивал теорию исключения неизвестных из систем уравнений высших степеней, доказал теорему (впервые сформулированную К. Маклореном) о том, что две кривые порядка m и n пересекаются не более чем в mn точках.
Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года был очень популярен его шести томный “Курс математики “, который Безу писал пять лет с 1764 по 1769 год. Также, он развил метод неопределённых множителей: в элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе. Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике.
Именем учёного названа одна из основных теорем алгебры.

Теорема Безу.
Остаток от деления многочлена Р(х) на (х-с) равен Р(с).

Многочлены от одной переменной
Многочлен Рп (х) относительно переменной х вида
Pn(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 +... + an-1x + an, где а0, ..., ап действительные числа и
а0
·0 , называется многочленом, расположенным по убывающим степеням х, или многочленом, представленным в каноническом виде.
Числа а0, ....аn называются его коэффициентами, одночлен а0х" его старшим членом, а число п степенью многочлена.

Тождественно равные многочлены
Многочлены называются тождественно равными, если при всех значениях переменной их значения совпадают.
Теорема 1. У равных многочленов равны коэффициенты при соответствующих степенях переменной.

Делимость многочленов
Если многочлены Рn{х), Qm{x) и Ki(x) таковы, что справедливо тождественное равенство Pn(x) = Qm(x)
·Ki(x),то говорят, что каждый из многочленов Qm(x) и Kt (х) является делителем многочлена Рп(х). При этом говорят, что многочлен Рп (х) делится (нацело) на многочлен Qm(x)
Если многочлен степени п делится на многочлен степени т, то частным от деления будет многочлен степени п-т и этот многочлен единственный.

Свойства делимости многочленов

1. Если многочлен Рп (х) делится на многочлен Qm (х), а многочлен Qт (х) делится на многочлен Fi(x), то многочлен Рп(х) делится на многочлен Ft (х).
2. Если многочлены Рп (х) и Qm (х) делятся на многочлен Kt (х), то многочлены
Рп (x)+Qm (х) и Рn (x) Qm (х) делятся на многочлен Ki (х).
3.Если многочлен Рп (х) делится на многочлен Qm (х), то произведение многочлена
Рп (х) на любой многочлен Ki (х) также делится на многочлен Qm (х).
4.Многочлены Р„ (х) и Qm (х) тогда и только тогда делятся друг на друга, когда
Рп (x) = CQm (х), где С
·0.

Делимость многочленов с остатком
Разделить с остатком многочлен Рп (х) на многочлен Тт (х) (т
·п) это значит найти многочлены ql (х) и rk (х) такие, что справедливо тождественное равенство
Р п (х) = Тт (х) ql(х) + rk (х),
где 0
·k < т. При этом многочлен ql (х) называется частным, а многочлен rk (х) остатком.
Если многочлен Рп (х) делится с остатком на многочлен Тт (х), то существует единственная пара многочленов qt(x) и rk (х) таких, что Рп (х) = Тт (х) qt (х)+ rk (х) причем 1=-п т, 0
·k < т.

 
Деление многочленов столбиком («Уголком»).
x2 – 2x – 3 x – 3 2x2 – x + 1 x +2
x2 – 3x x + 1 2x2 + 4x 2x - 5
x – 3 - 5x + 1
x – 3 - 5x - 10
0                                                                11
Деление нацело Деление с остатком
x2 – 2x – 3 = (x –3)(x + 1) 2x2 – x + 1 = (x + 2)(2x –5) + 11
 
Метод неопределенных коэффициентов.
Название метода говорит само за себя. Нам неизвестны некоторые коэффициенты и мы обозначим их буквами.
Деление при помощи метода неопределенных коэффициентов.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]; [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Запишем формулу деления многочленов с остатком.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Что нам известно о Q(x)? - это многочлен второй степени, потому что при умножении на х дает [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], Значит Q(x) = [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], где [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] - неопределенные коэффициенты.
Что нам известно об r? – это число, так как его степень не может превышать степень делителя.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]По определению тождественно равных многочленах
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]; -2 = b – 2; b=0
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] 1 = c – 0; c=1
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] -1 = -2 + r; r=1
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


Деление многочленов по схеме Горнера
.
































Корни многочлена

Число
· называется корнем многочлена Р(х), если при х=
· числовое значение многочлена равно 0


Теорема о рациональных корнях многочлена
Если многочлен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] с целыми коэффициентами имеет рациональный

корень то число p является делителем числа (свободного

члена), а число q является делителем числа (старшего коэффициента).


Пример 1
Разложить на множители многочлен x 3  – 5 x 2  – 2 x  + 16.
Решение:Данный многочлен имеет целые коэффициенты. Если целое число является корнем этого многочлена, то оно является делителем числа 16. Таким образом, если у данного многочлена есть целые корни, то это могут быть только числа ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Непосредственной проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем этого многочлена, то есть x 3  – 5 x 2  – 2 x  + 16 = ( x  – 2) Q ( x ), где Q ( x )
· многочлен второй степени. Следовательно, многочлен разлагается на множители, один из которых ( x  – 2). Для поиска вида многочлена Q ( x ) воспользуемся схемой Горнера .

Пример 2
Разложить на множители многочлен x 4  + 5 x 3  – 7 x 2  – 5 x  + 6.
Решение:
Данный многочлен имеет целые коэффициенты. Следовательно, если целое число является корнем этого многочлена, оно является делителем свободного члена, то есть числа 6. Таким образом, если у данного многочлена существуют целые корни, то это могут быть числа ±1; ±2; ±3; ±6.
Проверкой убеждаемся, что числа +1 и
·1 являются корнями многочлена, таким образом: x 4  + 5 x 3  – 7 x 2  – 5 x  + 6 = ( x  + 1)( x  – 1) Q  ( x ) = ( x 2  – 1) Q  ( x ), где Q  ( x )
· многочлен второй степени. Делим исходный многочлен на x 2  – 1 уголком:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Основные правила математического боя. Общие положения. Математический бой состоит из двух частей. Сначала команды получают условия задач и определенное время на их решение. При решении задач команда может использовать любую литературу, но не имеет права общаться по поводу решения задач ни с кем, кроме жюри. По истечении этого времени начинается собственно бой, когда команды в соответствии с правилами рассказывают друг другу решения задач. Если одна команда рассказывает решение, то другая оппонирует его, то есть ищет в нем ошибки (недостатки). Если решения нет, то оппонирующая команда может привести и свое решение. При этом выступления оппонента и докладчика оцениваются жюри в баллах (за решение и за оппонирование). Если команды, обсудив предложенное решение, все-таки до конца задачу не решили или не обнаружили допущенные ошибки, то часть баллов (или даже все баллы) может забрать себе жюри боя. Если по окончании боя результаты команд отличаются не более чем на З балла, то считается, что бой закончился вничью. В противном случае побеждает команда, которая по окончании боя набирает больше баллов. Если же по условиям боя он не может закончиться вничью, то жюри до боя объявляет это командам и оглашает процедуру определения победителя. Капитаны команд имеют право попросить жюри о предоставлении перерыва в ходе боя на 510 минут (примерно через каждые полтора часа). Перерыв может предоставляться только между обсуждением двух различных задач. При этом команда, которая должна сделать вызов, делает его в письменной форме (без оглашения) непосредственно перед началом перерыва и сдает жюри, которое оглашает этот вызов сразу после окончания перерыва.
Общая схема боя. Бой состоит из нескольких раундов. В начале каждого раунда (если не происходит отказа от вызова, что будет рассмотрено ниже в пункте «Окончание боя») одна из команд вызывает другую на одну из задач, решения которых еще не рассказывались (например: «Мы вызываем команду соперников на задачу номер 3»). После этого вызванная команда сообщает, принимает ли она вызов, т. е. согласна ли рассказать решение задачи, на которую была вызвана (ответ можно обдумывать, но не более 1 минуты). Если да, то она выставляет докладчика, который должен рассказать решение, а вызвавшая команда выставляет оппонента, обязанность которого искать в решении ошибки. Если нет, то докладчика обязана выставить команда, которая вызывала, а отказавшаяся отвечать команда выставляет оппонента.
Конкурс капитанов. Кто будет делать первый вызов, определяет команда, победившая в конкурсе капитанов. Он проводится в начале боя. Капитанам предлагается задача. Капитан, первым сообщивший жюри о своем желании отвечать, получает такое право. Если он рассказывает правильное решение, то он победил, а если неправильное победил его соперник. При этом, что понимается под «правильным решением»: просто верный ответ, ответ с объяснением или что-либо еще жюри при необходимости уточняет перед началом конкурса капитанов. На решение задачи конкурса капитанов жюри отводит определенное время. Если за это время ни один из капитанов не высказал желания отвечать, жюри может заменить задачу или выявить победителя жребием. Вместо задачи жюри может предложить капитанам сыграть в игру. В этом случае победителем считается тот, кто выигрывает игру. Возможны и другие схемы проведения конкурса капитанов. Жюри боя заранее определяет способ проведения конкурса капитанов и сообщает о нем командам перед началом боя. При желании на конкурс вместо капитана можно выставить любого другого члена команды.
Ход раунда. Доклад. В начале раунда докладчик рассказывает решение. Доклад должен содержать ответы на все поставленные в задаче вопросы и доказательство правильности и полноты полученных ответов. В частности, докладчик обязан доказать каждое сформулированное им промежуточное утверждение либо сослаться на него, как на общеизвестное. докладчик должен стремиться к ясности изложения, в частности, он обязан повторить по просьбе оппонента или жюри любую часть своего доклада. Время на доклад ограничивается, например, 15 минутами, после чего жюри решает, разрешать ли докладчику рассказывать дальше. Докладчик может иметь бумагу с чертежами и (с отдельного разрешения жюри) вычислениями, но не имеет права брать с собой текст решения. В докладе нельзя ссылаться на вычисления, проведенные с помощью калькулятора или иной вычислительной техники и не подтвержденные иным способом.
Докладчик имеет право: до начала выступления вынести на доску всю необходимую информацию (чертежи, вычисления и т. п.); не отвечать на вопросы оппонента, заданные до начала обсуждения; просить оппонента уточнить свой вопрос (в частности, докладчик может предложить свою версию вопроса: «Правильно ли я понимаю, что Вы спросили о том-то и том-то?»); отказаться отвечать на вопрос, сказав, что: (а) он не имеет ответа на этот вопрос; (б) он уже ответил на этот вопрос (объяснив, когда и как); (в) вопрос некорректен или выходит за рамки научной дискуссии по поставленной задаче. В случае несогласия оппонента с основаниями (б) и (в) арбитром выступает жюри. Докладчик не обязан: излагать способ получения ответа, если он может доказать правильность и полноту ответа другим путем; сравнивать свой метод решения с другими возможными методами, в том числе с точки зрения краткости, красоты и пригодности для решения других задач. докладчик обязан рассказывать решение в вежливой, корректной форме, критикуя действия оппонента, но не допускать критики его личности, обращаться к оппоненту только на «Вы». Оппонирование. Пока доклад не окончен, оппонент может задавать вопросы только с согласия докладчика, но имеет право просить повторения части решения и разрешать докладчику не доказывать какие-либо очевидные с точки зрения оппонента факты. После окончания доклада оппонент имеет право задавать вопросы докладчику. Если в течение минуты оппонент не задал ни одного вопроса, то считается, что у него нет вопросов. Если докладчик в течение минуты не начинает отвечать на вопрос, то считается, что у него нет ответа.
В качестве вопроса оппонент может: потребовать у докладчика повторить любую часть доклада; попросить уточнения любого из высказываний докладчика, в том числе: (а) попросить дать определение любого термина («Что Вы понимаете под ...»); (б) переформулировать утверждение докладчика своими словами и попросить подтверждения («Правильно ли я понимаю, что Вы утверждаете следующее: ...»); попросить докладчика доказать сформулированное тем неочевидное не общеизвестное утверждение (в спорных случаях вопрос об известности или очевидности решает жюри; во всяком случае, известными считаются факты, изучающиеся в общеобразовательной школе);
после ответа на вопрос выразить удовлетворенность или мотивированную неудовлетворенность ответом. Если оппонент считает, что докладчик тянет время, придумывая решение у доски, или что существенная часть доклада не является изложением решения обсуждаемой задачи, он имеет право (но не ранее, чем через 10 минут после начала доклада) попросить докладчика предъявить ответ (если таковой в задаче подразумевается) или план дальнейших рассуждений. Оппонент обязан:
формулировать свои вопросы в вежливой, корректной форме, обращаться к докладчику только на «Вы»; критикуя доклад, не допускать критики докладчика повторять и уточнять свои вопросы по просьбе докладчика или жюри. По итогам доклада и ответов на вопросы оппонент имеет право дать свою оценку докладу и обсуждению в одной из следующих форм: (а) признать решение правильным; (б) признать решение (ответ) в основном правильным, но имеющим недостатки и/или пробелы с обязательным их указанием; (в) признать решение (ответ) неправильным с указанием ошибок в обоснованиях ключевых утверждений доклада или контрпримеров к ним (или ответу), или указанием существенных пробелов в обоснованиях или плане решения. Если оппонент согласился с решением, он и его команда в этом раунде больше не участвуют. Если оппонент имеет контрпример, опровергающий решение докладчика в целом, и этот контрпример сам является решением задачи (такое бывает, например, в случаях, когда вопрос задачи звучит как «Можно ли...?», «Верно ли, что...?» и т. п.), то оппонент имеет право заявить: «Я с решением не согласен, у меня есть контрпример», но сам контрпример пока докладчику не предъявлять (хотя жюри имеет право потребовать от оппонента предъявления контрпримера в письменном виде, чтобы убедиться в корректности заявления оппонента). В этом случае, если докладчик не изменит своего решения в течение минуты или после взятого командой перерыва, оппонент получает право предъявить докладчику упомянутый контрпример Причем докладчик и его команда уже не имеют права менять решение или ответ. Аналогично, если решение требует перебора случаев, оппонент имеет право заявить «Я с решением не согласен, рассмотрены не все случаи», не указывая пока докладчику явно, какой именно случай не рассмотрен. Дальнейшие действия докладчика, жюри и оппонента такие же, как в ситуации с контрпримером.
Участие жюри в обсуждении. После окончания диалога докладчика и оппонента жюри задает свои вопросы. При необходимости оно может вмешиваться и раньше. Выступающие и команда. Докладчик и оппонент могут обращаться к своим капитанам с просьбой о замене или перерыве для консультации. Другое общение между командой и докладчиком (оппонентом) допускается только во время полуминутного перерыва, который любая команда может взять в любой момент (при этом соперники тоже могут пользоваться этим временем). Каждая команда может взять в течение одного боя не более 6 полуминутных перерывов (см. также ниже пункт «Число выходов к доске»). Команда имеет право полностью использовать полуминутный перерыв, взятый командой соперников, даже если та закончила его досрочно. Перемена ролей. Некорректный вызов. Порядок вызовов. Если по ходу дискуссии жюри установило, что оппонент доказал отсутствие у докладчика решения и ранее не произошел отказ от вызова, то возможны два варианта: если вызов на этот раунд был принят, то оппонент получает право (но не обязан) рассказать свое решение; если оппонент взялся рассказывать свое решение, то происходит полная перемена ролей: бывший докладчик становится оппонентом и может зарабатывать баллы за оппонирование; если же вызов на этот раунд не был принят, то говорят, что вызов был некорректным. В этом случае перемены ролей не происходит, а команда, вызвавшая некорректно, должна снова вызывать соперника в следующем раунде. Во всех остальных случаях в следующем раунде вызывает та команда, которая была вызвана в текущем раунде. Принятый вызов всегда считается корректным! Если же оппонент не доказал, что у докладчика нет решения, но выявил в предложенном решении некоторые конкретные недостатки, то, если ранее не произошел отказ от вызова и вызов на этот раунд был принят, оппонент получает право (но не обязан) устранить все (или некоторые) из этих недостатков (залатать дыры). Такое же право оппонент получает, если он доказал, что у докладчика нет решения, но отказался рассказывать собственное решение. Если оппонент взялся «залатывать дыры», то происходит частичная перемена ролей: оппонент обязан сформулировать предварительно, что именно он будет делать (например, разбирать такой-то не разобранный докладчиком случай, доказывать такое-то не доказанное докладчиком утверждение или что-либо еще), а бывший докладчик становится оппонентом и может зарабатывать баллы за оппонирование сформулированных утверждений. При проверке корректности вызова частичная перемена ролей невозможна. Обратной перемены ролей ни в каком случае не происходит!
Число выходов к доске. Каждый член команды имеет право выйти к доске в качестве докладчика или оппонента не более двух раз за бой. Команда имеет право не более трех раз за бой заменять докладчика или оппонента, причем каждый раз выход засчитывается как тому, кого заменили, так и тому, кто вышел на замену. Кроме того, при замене время, отведенное команде на перерывы, уменьшается на 1 минуту (эту минуту можно использовать непосредственно перед заменой, а можно и не использовать.








13PAGE 15


13PAGE 14315




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы


Добавить комментарий