Действительные числа


Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации:

Действительные числаАлгебра и начала математического анализа Натуральные и целые числа1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, … – ряд натуральных чисел N или (Z+)-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -10, -11, … – ряд противоположных натуральным чисел Z–…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … – ряд целых чисел Z (Z+ и Z– и 0)


Множества чиселRQZN


Делимость натуральных чиселДля двух натуральных чисел a и b если существует натуральное число q такое, что выполняется равенство a = bq, то говорят, что число a делится на число b.a – делимоеb – делительq – частноеa : b = qa b …– а делится на b без остатка

Автор: Хамраева Мехринисо 1о Если a ⋮ с и с ⋮ b, то a ⋮ b.2о Если a ⋮ b и с ⋮ b, то (a + c) ⋮ b.Пример: 144 ⋮ 12 и 12 ⋮ 3, то 144 ⋮ 3.Пример: 84 ⋮ 3 и 63 ⋮ 3, то (84 + 63) ⋮ 3.3о Если a ⋮ b и с не делится на b, то (a + c) не делится на b.Пример: 48 ⋮ 3 и 52 не делится на 3, то (48 + 52) не делится на 3.Свойства делимости


4о Если a ⋮ b и (a + c) ⋮ b, то c ⋮ b.5о Если a ⋮ b и с ⋮ d, то ac ⋮ bd.Пример: 48 ⋮ 3 и (48 + 57) ⋮ 3, то 57 ⋮ 3.Пример: 81 ⋮ 3 и 56 ⋮ 4, то (81∙56) ⋮ (3∙4).6о Если a ⋮ b и с  N, то ac ⋮ bc, и наоборот.Пример: 48 ⋮ 12 и 11  N, то (48∙11) ⋮ (12∙11), и обратно.Свойства делимости


Автор: Хамраева Мехринисо 7о Если a ⋮ b и с  N, то ac ⋮ b.8о Если a ⋮ b и с ⋮ b, то для любых n, k  N следует (an + ck) ⋮ b.Пример: 48 ⋮ 3 и 13  N, то (48∙13) ⋮ 3.Пример: 81 ⋮ 9 и 54 ⋮ 9, то (81∙17 + 54∙28) ⋮ 9.9о Среди n последовательных натуральных чисел одно и только одно делится на n.Свойства делимостиПример: среди трех последовательных натур. чисел 111, 112, 113 только одно делится на 3. (111 ⋮ 3)


Автор: Хамраева Мехринисо На 2: необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на 2.Пример: 56738 ⋮ 2 т.к. 8 ⋮ 2.Признаки делимостиДля того, чтобы натуральное число делилосьНа 5: необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на 5 (0 или 5).Пример: 56735 ⋮ 5 т.к. 5 ⋮ 5.На 10: необходимо и достаточно, чтобы цифра единиц была 0.Пример: 56730 ⋮ 10.


Автор: Хамраева Мехринисо На 4: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 4 число, образованное двумя последними цифрами.Пример: 56736 ⋮ 4, т.к. 36 ⋮ 4.Признаки делимостиДля того, чтобы натуральное число делилосьНа 25: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 25 число, образованное двумя последними цифрами.Пример: 56775 ⋮ 25, т.к. 75 ⋮ 25.На 8: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 8 число, образованное тремя последними цифрами.Пример: 56552 ⋮ 8, т.к. 552 ⋮ 8.


Автор: Хамраева Мехринисо На 125: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 125 число, образованное тремя последними цифрами.Пример: 56375 ⋮ 125, т.к. 375 ⋮ 125.Признаки делимостиДля того, чтобы натуральное число делилосьНа 3: необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3.Пример: 56742 ⋮ 3, т.к. (5+6+7+4+2) ⋮ 3.На 9: необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9.Пример: 56545 ⋮ 9, т.к. (5+6+7+4+5) ⋮ 9.


Автор: Хамраева Мехринисо На 11: необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр, взятых со знаком «+», стоящих на нечетных местах, и сумма цифр, взятых со знаком «–», стоящих на четных местах, делилась на 11.Пример: 8637519 ⋮ 11, т.к. (9-1+5-7+3-6+8) ⋮ 11.Признаки делимостиДля того чтобы натуральное число делилосьНа 7 (на 13): необходимо и достаточно, чтобы сумма чисел, образующих грани, взятых со знаком «+» для нечетных граней и со знаком «–» для четных граней, делилась на 7 (на 13).Пример: 254 390 815 ⋮ 7, т.к. (815-390+254) ⋮ 7.

Автор: Хамраева Мехринисо Обозначения abcdef = 100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e + fПример: 2543 = 2∙1000 + 5∙100 + 4∙10 + 3Пример: 100410 = 1∙100000 + 4∙100 + 1∙10n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ … ∙ (n – 3)(n – 2)(n – 1)n Примеры: 6! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 = 720 2! = 1 ∙ 2 = 2 1! = 1 0! = 1



Автор: Хамраева Мехринисо Деление с остаткомa = bq + ra – делимоеb – делительТеорема 4. Если натуральное число а больше натурального числа b и а не делится на b, то существует, и только одна, пара натуральных чисел q и r, причем r < b, такая что выполняется равенство:Пример: 37 : 15 = 2 (ост. 7)а = 37, b = 15, тогда 37 = 15 ∙ 2 + 7; где q = 2, r = 7.q – неполное частноеr – остатокЗамечание. Если а ⋮ b, то можно считать, что r = 0.




Автор: Хамраева Мехринисо Простые числа Если натуральное число имеет только два делителя – само себя и 1, то его называют простым числом.2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, … – простые числа.Теорема 1. Любое, натуральное число а > 1 имеет хотя бы один простой делитель.Теорема 2. Множество простых чисел бесконечно.Теорема 3. Расстояние между двумя соседними простыми числами может быть больше любого наперед заданного натурального числа.


Автор: Хамраева Мехринисо Cоставные числа Если натуральное число имеет более двух делителей, то его называют составным числом.1 не является ни простым, ни составным числом.4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, … – составные числаОсновная теорема арифметики. Любое натуральное число (кроме 1) либо является простым, либо его можно разложить на простые множители. Примеры: 210 = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7; 56 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 7.


1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96Делители числа 72:Автор: Хамраева Мехринисо Наибольший общий делитель (НОД)1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72Делители числа 96:Среди них есть одинаковые: Их называют общими делителями чисел 72 и 96, а наибольшее из них называют наибольшим общимделителем (НОД) чисел 72 и 96.Найти НОД чисел: 72 и 96.НОД (72; 96) = 241, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 24






Автор: Хамраева Мехринисо Наибольший общий делитель (НОД)Два натуральных числа a и b называют взаимно простыми числами, если у них нет общих делителей, отличных от 1, т.е. НОД(a, b) = 1.Пример: 35 и 36 взаимно простые числа,т.к. НОД (35; 36) = 1.
18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, …Кратные числа 12:Автор: Хамраева Мехринисо Наименьшее общее кратное (НОК)12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, …Кратные числа 18:Среди них есть одинаковые: Их называют общими кратными чисел 12 и 18, а наименьшее из них называют наименьшим общим кратным (НОК) чисел 12 и 18.Найти НОК чисел: 12 и 18.НОК (12; 18) = 3636, 72, 108, 144, …






Автор: Хамраева Мехринисо Разложение на простые множители3780 = 22 ∙ 33 ∙ 5 ∙ 722333573780 1890 945 315 105 35 7 1222233777056 3528 1764 882 441 147 49 7 17056 = 24 ∙ 32 ∙ 72НОД (3780; 7056)== 22 ∙ 32 ∙ 7 = 252НОК (3780; 7056)== 24 ∙ 33 ∙ 5 ∙ 72 = = 105840




















Рациональные числаАвтор: Хамраева Мехринисо Любое рациональное число можно записать в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби.Рациональные числа – это числа вида ,где m – целое число, а n – натуральное.Q - множество рациональных чисел.mnПримеры: = 0,17(857142); = 0,(285714);6 = 6,000… = 6,(0); 7,432 = 7,432000… = 7,432(0). 52827




Рациональные числаАвтор: Хамраева Мехринисо Верно и обратное утверждение:Любую бесконечную десятичную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби.Примеры: 0,3333… = 0,(3) = ; 0,3181818… = 0,3(18) = .72213

Рациональные числаАвтор: Хамраева Мехринисо Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь :Пусть х = 1,(23) = 1,23232323… Умножим х на 100, чтобы запятая переместилась вправо на один период:100х = 123,232323… х = 1,232323… 100х – х = 122,000000… Т.е. 99х = 122, откуда х = 12299Пример (1 способ):–





Рациональные числаАвтор: Хамраева Мехринисо Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь :Пусть 1,(23) = 1,232323… = 1 + 0,23 + 0,0023 + 0,000023 + … Рассмотрим эту сумму 1 и суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: S = 1 + S1, где S1 = b1 / (1 – q) – формула суммы бесконечно убывающей прогрессии со знаменателем q = 0,01, и первым членом b1 = 0,23: S1 = = S = 1 + = 0,231 – 0,01Пример (2 способ):2399239912299




Иррациональные числаАвтор: Хамраева Мехринисо Термины «рациональное число», «иррациональное число» происходят от латинского слова ratio – разум (буквальный перевод: «рациональное число – разумное число», «иррациональное число – неразумное число»).Иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь.0,1234567891011121314… π ≈ 3,1415926535897932…е ≈ 2,7182818284590452…√11 ≈ 3,31662479035539… Примеры:



Add your company sloganwww.themegallery.comThank You !

Приложенные файлы


Добавить комментарий