Геометрические места точек


Чтобы посмотреть презентацию с оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов:

Геометрическим местом точек (ГМТ) называется фигура, состоящая из всех точек, удовлетворяющих заданному свойству или нескольким заданным свойствам. Примерами геометрических мест точек являются: окружность – ГМТ, удаленных от данной точки на данное расстояние; круг – ГМТ, удаленных от данной точки на расстояние, не превосходящее данное. Геометрические места точек Пусть O – точка плоскости. Изобразите ГМТ X, для которых выполняются неравенства r OX R. Ответ: Кольцо Упражнение 1 На данной прямой a найдите точки, удаленные от данной точки C на заданное расстояние R. Какие при этом возможны случаи? Ответ: Точки пересечения прямой a и окружности с центром в точке C и радиусом R. Получаются две, одна или ни одной точки в зависимости от того, расстояние от точки C до прямой a больше R, равно R или меньше R соответственно. Упражнение 2 На прямой c отметьте точки, удаленные от точки A на расстояние, равное (стороны квадратных клеток равны 1). Упражнение 3 Пусть Ф1 и Ф2 – фигуры на плоскости. Фигура Ф, состоящая из всех точек, принадлежащих фигуре Ф1 и фигуре Ф2, называется пересечением фигур Ф1 и Ф2 и обозначается Ф1 Ф2. Пересечение фигур Ответ: Искомое ГМТ является пересечением двух кругов с центрами в точках O1, O2 и радиусами R1, R2. Даны две точки O1 и O2. Найдите ГМТ X, для которых XO1 R1 и XO2 R2. Пересечением каких фигур является искомое ГМТ. Упражнение 4 Пусть Ф1 и Ф2 – фигуры на плоскости. Фигура Ф, состоящая из всех точек, принадлежащих фигуре Ф1 или фигуре Ф2, называется объединением фигур Ф1 и Ф2 и обозначается Ф1 Ф2. Объединение фигур Даны две точки O1 и O2. Найдите ГМТ X, для которых XO1 R1 или XO2 R2. Объединением каких фигур является искомое ГМТ. Ответ: Искомое ГМТ является объединением двух кругов с центрами в точках O1, O2 и радиусами R1, R2. Упражнение 5 Пусть Ф1 и Ф2 – фигуры на плоскости. Фигура Ф, состоящая из всех точек, принадлежащих фигуре Ф1 и не принадлежащих фигуре Ф2, называется разностью фигур Ф1 и Ф2 и обозначается Ф1 \ Ф2. Разность фигур Ответ: Искомое ГМТ является разностью двух кругов с центрами в точках O1, O2 и радиусами R1, R2. Даны две точки O1 и O2. Найдите ГМТ X, для которых XO1 R1 и XO2 R2. Разностью каких фигур является искомое ГМТ. Упражнение 6 Серединным перпендикуляром к заданному отрезку называется … Теорема. Серединный перпендикуляр к отрезку является ГМТ, одинаково удаленных от концов этого отрезка. прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину. Доказательство. Пусть дан отрезок АВ и точка О – его середина. Очевидно, точка О одинаково удалена от точек А, В и принадлежит серединному перпендикуляру. Пусть точка С одинаково удалена от точек А и В и не совпадает с точкой О. Обратно, пусть точка С принадлежит серединному перпендикуляру и не совпадает с О, тогда прямоугольные треугольники АОС и ВОС равны (по катетам). Следовательно, АС=ВС. Тогда треугольник АВС равнобедренный и СО – медиана. По свойству равнобедренного треугольника медиана является также и высотой. Значит, точка С принадлежит серединному перпендикуляру. Серединный перпендикуляр Постройте геометрическое место точек, равноудаленных от точек A и B. Упражнение 7 На прямой c отметьте точку C равноудаленную от точек A и B. Упражнение 8 Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки. Ответ: Серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему две данные точки. Упражнение 9 Найдите геометрическое место вершин С равнобедренных треугольников с заданным основанием AB. Ответ: Серединный перпендикуляр к отрезку AB без середины этого отрезка. Упражнение 10 Пусть А и В - точки плоскости. Найдите геометрическое место точек С, для которых АС ВС. Ответ: Полуплоскость, определяемая серединным перпендикуляром к отрезку AB, содержащая точку A; Упражнение 11 Пусть А и В точки плоскости, c - прямая. Найдите геометрическое место точек прямой c, расположенных ближе к А, чем к В. В каком случае таких точек нет? Ответ: Часть прямой c, лежащая внутри полуплоскости, определяемой серединным перпендикуляром к отрезку AB и точкой A. Если прямая c целиком лежит в полуплоскости, определяемой серединным перпендикуляром и точкой B, то таких точек нет. Упражнение 12 Даны три точки: А, В, С. Найдите точки, которые одинаково удалены от точек А и В и находятся на расстоянии R от точки С. Ответ: Точки пересечения серединного перпендикуляра к отрезку AB и окружности с центром в точке C и радиусом R. Упражнение 13 Ответ: Искомое ГМТ является пересечением круга и полуплоскости. Даны две точки A и B. Найдите ГМТ C, для которых CA CB AB. Пересечением каких фигур является искомое ГМТ. Упражнение 14 Даны три точки A, B, C. Найдите ГМТ X, для которых AX BX и BX CX. Пересечением каких фигур является искомое ГМТ. Ответ: Искомое ГМТ является пересечением двух полупространств, определяемых серединными перпендикулярами к отрезкам AB и BC. Упражнение 15 Даны три точки A, B, C. Найдите ГМТ X, для которых AX BX или BX CX. Объединением каких фигур является искомое ГМТ. Ответ: Искомое ГМТ является объединением двух полупространств, определяемых серединными перпендикулярами к отрезкам AB и BC. Упражнение 16 Теорема. Биссектриса угла является ГМТ, лежащих внутри этого угла и одинаково удаленных от его сторон. Доказательство. Рассмотрим угол c вершиной в точке О и сторонами а, b. Пусть точка С лежит внутри данного угла. Опустим из нее перпендикуляры СА и CB на стороны а и b. Если CA = CB, то прямоугольные треугольники АOС и ВOС равны (по гипотенузе и катету). Следовательно, углы AOC и BOC равны. Значит, точка C принадлежит биссектрисе угла. Обратно, если точка C принадлежит биссектрисе угла, то прямоугольные треугольники AOC и BOC равны (по гипотенузе и острому углу). Следовательно, AC = BC. Значит, точка С одинаково удалена от сторон данного угла. Биссектриса угла Постройте геометрическое место внутренних точек угла AOB, равноудаленных от его сторон. Упражнение 17 На прямой c отметьте точку C, равноудаленную от сторон угла AOB. Упражнение 18 Что является геометрическим местом центров окружностей касающихся двух данных пересекающихся прямых? Ответ: Биссектрисы углов, образующихся при пересечении данных прямых, без точки пересечения этих прямых. Упражнение 19 Ответ: а) Точки, принадлежащие биссектрисам четырех углов, образованных данными прямыми; б) внутренности двух вертикальных углов, образованных биссектрисами. Пусть a и b - пересекающиеся прямые. Найдите геометрическое место точек: а) одинаково удаленных от a и b; б) расположенных ближе к a, чем к b. Упражнение 20 На прямой c, пересекающей стороны угла, найдите точку C, одинаково удаленную от этих сторон. Ответ: Точка пересечения данной прямой с биссектрисой данного угла. Упражнение 21 Дан угол АOB и точки M, N на его сторонах. Внутри угла найдите точку, одинаково удаленную от точек M и N и находящуюся на одинаковом расстоянии от сторон угла. Ответ: Точка пересечения серединного перпендикуляра к MN с биссектрисой угла. Упражнение 22

Приложенные файлы


Добавить комментарий