Реферат


Дано: E = 150 В; Em = 150 В;  = 7000 рад/с; e = 120; L = 4 мГн; C = 5 мкФ; R1 = 6 Ом; R2 = 10 Ом; R3 = 5 Ом; R4 = 4 Ом.
Найти: uC(t).
Классический метод. Постоянное напряжение источника.
Сопротивление последовательного соединения R1, R4
R14 = R1 + R4 = 6 + 4 = 10 Ом.
Алгебраизованное выражение для входного комплексного сопротивления относительно источника
Z(p) = eq \f(1;\f(1;R2) + \f(1;pL)) + eq \f(1;\f(1;R3) + \f(1;1/(pC))) + R14 = eq \f(R3(R2 + R14)LC p2 + ((R2 + R3 + R14)L + R2R3R14C)p + R2(R3 + R14);R3LC p2 + (L + R2R3C) p + R2).
Характеристическое уравнение Z(p) = 0,
R3(R2 + R14)LC p2 + ((R2 + R3 + R14)L + R2R3R14C)p + R2(R3 + R14) = 0;
5∙(10 + 10)∙4∙10-3∙5∙10-6p2 + ((10 + 5 + 10)∙4∙10-3 + 10∙5∙10∙5∙10-6)p + 10∙(5 + 10) = 0:
Корни характеристического уравнения p1 = – 1510 с; p2 = – 49700 с.
Свободная составляющая тока в индуктивности iLсв = A1ep1t + A2ep2t = A1e–1510t + A2e–49700t.
Схема до коммутации.
Начальное значение тока в ветви c индуктивностью iL(0) = E/(R14 + R3) = 150/(10 + 5) = 10 А.
Начальное значение напряжения на емкости uC(0) = iL(0)R3 = 10∙5 = 50 В.
Схема после коммутации.
Принужденная составляющая напряжения на емкости uCпр = E = 150 В.
Переходное напряжение на емкости и его производная по времени
uC(t) = uCпр + uCсв(t) = 150 + A1e–1510t + A2e–49700t;
eq \f(duC(t);dt) = – 1510A1e–1510t – 49700A2e–49700t.
Система уравнений для определения неизвестных коэффициентов
uC(0) = uCпр(0) + uCсв(0) = 150 + A1 + A2;
eq \f(duC(0);dt) = – 1510A1 – 49700A2.
Уравнения по закону Кирхгофа для схемы после коммутации при t = 0
для правого узла – iC(0) + iL(0) + i2(0) = 0;
для левого контура R14iE(0) + L eq \f(diL(0);dt) – uC(0) = E;
для верхнего контура R2i2(0) – L eq \f(diL(0);dt) = 0.
Исключение величин i2(0), eq \f(diL(0);dt): (R14 + R2)iC(0) – R2iL(0) – uC(0) = E;
(10 + 10)∙iC(0) – 10∙1,47 – 30,0 = 150;
Зависимые начальные условия iC(0) = 7,5 А; eq \f(duC(0);dt) = eq \f(iC(0);C) = 7,5/(5∙10-6) = 1,5∙106 В/с.
50 = 180 + A1 + A2;
1,5∙106 = – 1510A1 – 49700A2.
Постоянные интегрирования A1 = – 3,6 А; A2 = 1,1 А.
Искомый переходный ток в индуктивности iL(t) = 10 – 3,6e–1510t + 1,1e–49700t.
Классический метод. Переменное напряжение источника.
Корни характеристического уравнения аналогично p1 = – 1510 с; p2 = – 49700 с.
Свободная составляющая напряжения на емкости uCсв = A1ep1t + A2ep2t = A1e–1510t + A2e–49700t.
Реактивные сопротивления индуктивности и емкости
XL = L = 7000∙4∙10-3 = 28 Ом; XC = 1/(C) = 1/(7000∙5∙10-6) = 28,6 Ом.
Комплексные величины:
амплитуда напряжения источника eq \o(E; )m = Emee = 150e120 В;
сопротивления параллельных соединений ветвей R2, L и R3, C
ZR2L = eq \f(1;\f(1;R2) + \f(1;jXL)) = 1/(1/10 + 1/j28) = 8,87 + j3,17 Ом;
ZR3C = eq \f(1;\f(1;R3) + \f(1;– jXC)) = 1/(1/5 + 1/(– j28,6)) = 4,85 – j0,85 Ом = 4,93e – j9,93 Ом.
Схема до коммутации.
Комплексные значения:
сопротивление цепи относительно источника Z = ZR2L + ZR3C + R14 = (8,87 + j3,17) + (4,85 – j0,85) + 10 = 23,8e j5,58 Ом;
амплитуды тока в ветвях с источником и индуктивностью
eq \o(I; )em = eq \o(E; )m/Z = 150e120/23,8e j5,58 = 6,29e j114,45 А;
eq \o(I; )Lm = eq \o(I; )em/(jXL/R2 + 1) = 6,29e j114,45/(j28/10 + 1) = 2,12e j44,11 А;
амплитуда напряжения на емкости eq \o(U; )Cm = eq \o(I; )emZR3C = 6,29e j114,45∙4,93e – j9,93 = 31,0e j104,52 В;
ЭДС источника, ток в ветви с индуктивностью и напряжение на емкости при t = 0
e(0) = Em sin e = 150∙sin 120 = 129,9 В;
iL(0) = 2,12 sin 44,11 = 1,47 А;
uC(0) = 31,0 sin 104,52 = 30,0 В.
Cхема после коммутации.
Комплексные значения:
сопротивление цепи относительно источника Z = ZR2L – jXC + R14 = (8,87 + j3,17) – j28,6 + 10 = 31,6e – j53,34 Ом;
амплитуды тока в ветвях с источником и индуктивностью
eq \o(I; )em = eq \o(E; )m/Z = 150e120/31,6e – j53,34 = 4,74e j173,43 А;
eq \o(I; )Lm = eq \o(I; )em/(jXL/R2 + 1) = 1,74e j173,43/(j28/10 + 1) = 1,59e j103,09 А;
амплитуда напряжения на емкости eq \o(U; )Cm = eq \o(I; )em(– jXC) = 4,74e j173,43∙28,6e – j90 = 135,4e j83,44 В.
Принужденная составляющая напряжения на емкости uCпр(t) = 135,4 sin(7000t + 83,44).
Переходное напряжение на емкости и его производная по времени
uC(t) = uCпр(t) + uCсв(t) = 135,4 sin(7000t + 83,44) + A1e–1510t + A2e–49700t;
eq \f(duC(t);dt) = 94500 cos(7000t + 83,44) – 1510A1e–1510t – 49700A2e–49700t.
Система уравнений для определения неизвестных коэффициентов
uC(0) = uCпр(0) + uCсв(0) = 135,4 sin 83,44 + A1 + A2;
eq \f(duC(0);dt) = 94500 cos 83,44 – 1510A1 – 49700A2.
Уравнения по закону Кирхгофа для схемы после коммутации при t = 0
для правого узла – iС(0) + iL(0) + i2(0) = 0;
для левого контура R14iС(0) + L eq \f(diL(0);dt) – uC(0) = e(0);
для верхнего контура R2i2(0) – L eq \f(diL(0);dt) = 0.
Исключение величин i2(0), eq \f(diL(0);dt): (R14 + R2)iС(0) – R2iL(0) – uC(0) = e(0);
(10 + 10)∙ie(0) – 10∙1,47 – 30,0 = 129,9;
Зависимые начальные условия iС(0) = 8,73 А; eq \f(duC(0);dt) = eq \f(iС(0);C) = 8,73/(5∙10-6) = 1,75∙106 В/с.
30,0 = 135,4 sin 83,44 + A1 + A2;
1,75∙106 = 94500 cos 83,44 – 1510A1 – 49700A2.
Постоянные интегрирования A1 = – 73,9 А; A2 = – 30,7 А.
Искомое переходное напряжение на емкости uC(t) = 135,4 sin(7000t + 83,44) – 73,9e–1510t – 30,7e–49700t.
Временные диаграммы переходного тока в индуктивности для постоянного и переменного напряжения
Операторный метод. Постоянное напряжение источника.
Эквивалентная операторная схема

Начальные условия
Ток в цепи с индуктивностью при t = 0: iL(0) = E/(R14 + R3) = 150/(10 + 5) = 10 А.
Напряжение на емкости при t = 0: uC(0) = iL(0)R3 = 10∙5 = 50 В.
Операторные контурные уравнения для смежных контуров-ячеек
I11(p)(R14 + pL + 1/(pC)) – I22(p)pL – I33(p)(1/(pC)) = – E(p) – LiL(0) + uC(0)/p;
– I11(p)pL + I22(p)(R2 + pL) = LiL(0);
– I11(p)(1/(pC)) + I33(p)(R3 + 1/(pC)) = – uC(0)/p.
Подстановка данных
I11(p)(10 + p∙4∙10-3 + 1/(p∙5∙10-6)) – I22(p)p∙4∙10-3 – I33(p)(1/(p∙5∙10-6)) = – 150/p – 4∙10-3∙iL(0) + 50/p;
– I11(p)p∙4∙10-3 + I22(p)(10 + p∙4∙10-3) = 4∙10-3∙iL(0);
– I11(p)(1/(p∙5∙10-6)) + I33(p)(5 + 1/(p∙5∙10-6)) = – uC(0)/p;
Операторные контурные токи левого и правого контуров
I11(p) = – eq \f(1;20) eq \f((10iL(0) – uC(0) + 150)p2 + (400∙103iL(0) – 2,5∙103uC(0) + 6,38∙106)p + 150∙109;p2 + 51,25∙103p + 75∙106);
I33(p) = – eq \f(1;5) eq \f(uC(0)p2 + (100∙103iL(0) + 1,25∙103uC(0) + 1,5∙106)p + 3,75∙109;p2 + 51,25∙103p + 75∙106).
Операторный ток в ветви с емкостью IC(p) = I33(p) – I11(p) = – eq \f(1;4) eq \f((– 2iL(0) + uC(0) – 30)p + (1,5∙103uC(0) – 75∙103);p2 + 51,25∙103p + 75∙106).
Операторное напряжение на емкости
UC(p) = eq \f(IC(p);pC) + eq \f(uC(0);p) = eq \f(1;p) eq \f(uC(0)p2 + (100∙103iL(0) + 1,25∙103uC(0) + 1,5∙106)p + 3,75∙109;p2 + 51,25∙103p + 75∙106) = eq \f(F1(p);F2(p)) = eq \f(F1(p);pF3(p));
F1(p) = uC(0)p2 + (100∙103iL(0) + 1,25∙103uC(0) + 1,5∙106)p + 3,75∙109;
F3(p) = p2 + 51,25∙103p + 75∙106;
Feq \o(3;)(p) = 2p + 51250.
Корни характеристического уравнения F2(p) = 0 p0 = 0; p1 = – 1510 с; p2 = – 49700 с.
Переходное напряжение на емкости по теореме разложения
uC(t) = eq \f(F1(0);F3(0)) + eq \f(F1(p1);p1F\o(3; )(p1))+ eq \f(F1(p2);p2F\o(3; )(p2))=
= eq \f(3,75∙109;75∙106) + eq \f(– 151∙106iL(0) + 390∙103uC(0) + 1,49∙106;(– 1510)∙48,23∙103) e –1510t + eq \f(– 4,97∙106iL(0) + 2,41∙109uC(0) – 70,8∙109;(– 49700)∙48,23∙103) e –49700t =
= 50 – 1,37∙10–8(– 1,51∙108iL(0) + 3,9∙105uC(0) + 1,49∙106)e –1510t – 4,17∙10–10(– 4,97∙109iL(0) + 4,41∙109uC(0) – 7,08∙1010)e –49700t А.
При подстановке iL(0) = 10 А, uC(0) = 50 В
uC(t) = 50 – 0,137e –1510t + 0,313e –49700t А
Значения тока в индуктивности, полученные классическим и операторным методами, не совпадают.

Приложенные файлы


Добавить комментарий